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Welcher "Termteil" muss substituiert werden?

Schüler Berufliches Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Integral, Intergration, Substitution, Term

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18:16 Uhr, 13.05.2010

Hallo,

ich muss bald eine GFS in Mathe über Integration durch Substition halten und dazu hab ich jetzt eine Frage.

Und zwar wann weiß ich, welchen Teil von einem Term ich substituieren muss?

$\int e^{2 x} d x$ hier war es klar da sich das "x" im oberen Term befindet

Bei $\int \frac{3}{4 x + 1} d x$ ist es ebenfalls klar, doch wie sieht es bei:

$\int \frac{{4 x}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} d x$ aus?

Meine vermutung: Immer der schwerere Term muss substituiert werden.

P.S.: Warum kann $\int x^{2 x} d x$ nicht berechnet werden?

MfG Daniel

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Rechnen mit Klammern
Terme aufstellen und gliedern
Terme vereinfachen - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

CKims aktiv_icon

18:52 Uhr, 13.05.2010

"Und zwar wann weiß ich, welchen Teil von einem Term ich substituieren muss?"

weiss man nicht... um zu sehen, ob die integration durch substitution was bringt, muss man das einfach ueben und ein auge dafuer entwickeln. kannst das auch unter die kategorie try and error packen. aber es gibt formeln, die sich offensichtlich durch substitution loesen lassen. und diese sind diejenigen wo die ableitung deiner substitution ein teil deiner zu integrierenden formel ist.

bei

\int \frac{4 x^{2}}{{(x - 1)}^{2}} d x

hilft das verfahren der substitution nicht. hier waere ein moeglicher anderer weg den bruch mithilfe von polynomdivision und partialbruchzerlegung auf einfachere teilbrueche aufzuteilen. dann laesst sich das auch integrieren.

"warum kann

\int x^{2 x} d x

nicht berechnet werden?"

es gibt ne menge formeln, die sich nicht (elementar) integrieren lassen. das liegt einach daran, dass sich die stammfunktionen nicht aus den "gaengigen" funktionen zusammenbauen lassen, weil diese so "verunstaltet" sind. ich weiss, dass es fuer einige solcher formeln auch beweise dahingehend gibt, dass keine stammfunktion existiert. jedoch muesste man sich das fuer jede formel im einzelnen angucken, was ziemlich heftig wird...

lg

Alx123 aktiv_icon

19:16 Uhr, 13.05.2010

Hallo,
das Integral

\int \frac{4 x^{2}}{(x - 1)^{2}} d x

kann man aber mit Sub. lösen.

u = x - 1

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19:52 Uhr, 14.05.2010

@Alx:

Könntest du mir sagen wie man das löst?

Mein Ergebnis ist:

${4 x}^{2} * \ln {(x - 1)}^{2} * \frac{1}{2 (x - 1)}$

Da ist aber leider falsch.

Ich bin so vorgegangen:

$\int \frac{4 x²}{(x - 1) ²} d x$

Subst. u(x) = (x-1)²

u'(x) = 2(x-1)

dx = du/2(x-1) oder 1/2(x-1) * du

Also kommt:

$\int \frac{4 x²}{u} * \frac{1}{2 (x - 1)} d u$ heraus.

Aufleiten:

${4 x}^{2} * \ln (u) * \frac{1}{2 (x - 1)}$

Resubstituiert:

${4 x}^{2} * {\ln (x - 1)}^{2} * \frac{1}{2 (x - 1)}$

Wo ist der Fehler?

------------

Wie/Woher wurde eigentlich der Satz der Integration durch Substitution hergeleitet?

Wäre nett wenn mir das einer beantworten könnte.

Und danke an die zwei, die bereits geholfen haben :)

MfG Da

pleindespoir aktiv_icon

20:41 Uhr, 14.05.2010

\int \frac{4 x^{2}}{(x - 1)^{2}} d x

u = x - 1

\frac{d u}{d x} = 1

d u = d x

x = u + 1

\int \frac{4 (u + 1)^{2}}{u^{2}} d u

4 \int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2}} d u

4 \int \frac{u^{2}}{u^{2}} d u + 4 \int \frac{2 u}{u^{2}} d u + 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u

4 \int 1 d u + 8 \int \frac{1}{u} d u + 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u

4 \int 1 d u + 8 \int u^{- 1} d u + 4 \int u^{- 2} d u

Alx123 aktiv_icon

21:06 Uhr, 14.05.2010

Bei Wikipedia gibt es einen einfachen Beweis ( Herleitung ) der Substitutionsregel.

http://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution

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12:41 Uhr, 15.05.2010

Wie berechnet man aber ein bestimmtes Integral mit Hilfe der Substitution?
Man muss irgendwie die Grenzen neu bestimmen, aber das habe ich bis jetzt noch nicht richtig verstanden.
Ein Beispiel wäre dabei natürlich besondern hilfreich.

MfG Daniel

pleindespoir aktiv_icon

13:52 Uhr, 15.05.2010

u=x-1

wäre in diem obigen Beispiel die Formel, um die Grenzen zu transformieren.

SubNatural aktiv_icon

14:20 Uhr, 17.05.2010

Dankeschön :-)

Ihr habt mir bis jetzt sehr geholfen und doch hören die Fragen leider noch nicht auf.
Wie sieht es denn mit der trigonometrischen Substitution aus?
hat da wer ne gute "Anleitung" mit Beispel?

Alx123 aktiv_icon

15:26 Uhr, 17.05.2010

Du kannst ja das Integral probieren zulösen:

\int \sqrt{1 - x^{2}} d x

Sub:

x = \sin (t) \Rightarrow \frac{d x}{d t} = \cos (x) \overset{}{\Leftrightarrow} d x = \cos (x) d t

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15:50 Uhr, 17.05.2010

Also mein Eregbnis lautet:

$t + \cos (t) * \sin (t)$

Ich habe das so errechnet:

$\int \sqrt{1 - x²} d x$

Sub:

$x = \sin (t)$

$\frac{d x}{d t} = \cos (t)$

$d x = \cos (t) d t$

$\int \sqrt{1 - \sin (t) ²} * \cos (t) d t$

= $\int 1 - \sin (t) * \cos (t) d t$

= $t + \cos (t) * \sin (t)$

Aber dieses Ergebnis scheint nicht richtig zu sein.

Alx123 aktiv_icon

17:42 Uhr, 17.05.2010

Wie ist die Wurzel aufeinmal verschwunden?

\sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \neq 1 - \sin (t)

es gilt doch:

\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) = 1 \overset{}{\Leftrightarrow} 1 - \sin^{2} (t) = \cos^{2} (t)

\Rightarrow \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} = \sqrt{\cos^{2} (t)} = \cos (t)

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18:05 Uhr, 17.05.2010

Gibts da eine gute Seite, wo das einem erklärt wird?
Unter Integration Substitution Trigonometrie finde ich bei Google nichts

Alx123 aktiv_icon

18:14 Uhr, 17.05.2010

Ja, die hier.
Du musst einfach fragen.

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18:27 Uhr, 17.05.2010

Ja,
dann würde ich es gerne erklärt bekommen.
Denn ohne Weiteres(wie

z . B

. eine Anleitung) komme ich nicht auf die Lösung bzw. auf demn Rechenweg.

Alx123 aktiv_icon

19:04 Uhr, 17.05.2010

Du hast also nicht verstanden was ich oben mit der Wurzel u.s.w. gemeint\gemacht habe? Du hast es ja ins Integral richtig eingesetzt und dann hast du dich ja einfach mit der Wurzel vertan. Es gilt nicht:

\sqrt{a^{2} \pm b^{2}} = a \pm b

ein einfaches Beispiel hierfür ist:

\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \neq 4 + 3 = 7

\sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \neq 4 - 3 = 1

das gilt nur bei der Multiplikation\Division:

\sqrt{a^{2} \cdot b^{2}} = \sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{b^{2}} = a \cdot b

\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}} = \frac{\sqrt{a^{2}}}{\sqrt{b^{2}}} = \frac{a}{b}

das sind einfach die Potenz,- und Wurzelgesetze.

Du kannst also den Term:

\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}

nicht einfach so umformen. Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion, das ist der sogennante trigonometrische Pythagoras:

\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) = 1

diese Gleichung nach Kosinus umgestellt, ergibt:

\cos^{2} (t) = 1 - \sin^{2} (t)

also kann man doch auch schreiben:

\sqrt{1 - \sin^{2} (t)} = \sqrt{\cos^{2} (t)} = \cos (t)

das ins Integral eingesetzt, ergibt:

\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cdot \cos (t) d t = \int \cos (t) \cdot \cos (t) d t

dieses Integral kannst du partiell integrieren.

SubNatural aktiv_icon

19:39 Uhr, 17.05.2010

Ich habe schon verstanden was du oben gemeind hast und im Nachhinein ist mir meine Vorgehensweise auch ein Rätsel.
Ich wollte eigentlich nur wissen ob es eine Seite gibt wo die Regel allgemein steht.
Dein Beispiel ist gut, aber es ist nunmal nur eines von Tausenden und ohne eine allgemeine Regel wird es schwer oder eine Seite mit, auf der alles zusammengefasst steht.

Danke im Voraus

MfG Daniel

Alx123 aktiv_icon

19:52 Uhr, 17.05.2010

Hm, ich kenne leider keine Internetseiten dazu. Hast du keine Formmelsammlung? Es gibt für verschiedene Funktionen passende Substitutionen, du solltest nach " Integration von nichtrationalen Funktionen " suchen.

SubNatural aktiv_icon

20:39 Uhr, 17.05.2010

Doch ich habe eine Formelsammlung, aber leider gibt es unter der Kategorie Substitution nur die Formel:

$\int f (g (x)) * g' (x) d x = f (z) d z$

Einen Sonderfall nämlich logarithmische Subst.:

$\int \frac{f' (x)}{f (x)} d x = \ln | f (x) |$

Und die linerae Subst. die hier nichts bringt.

Ich habe die Sieber Mathematische Formelsammlung für Gymnasien

Alx123 aktiv_icon

21:10 Uhr, 17.05.2010

Du kannst ja Matheskripte von den Uni-Seiten runterladen, am besten wär wohl ein Matheskript für Ingenieure, die Ingenieursmathematik bezeichnet man sehr oft als Höhere Mathematik.

edit:

Hier steht schon etwas darüber:

http//www.hochschule-bochum.de/fileadmin/media/fb_m/Institute/Mathe_Inf/fulst/Mathe_I/Skripte/Skript_Ingenieure_Mathe_Analysis_Teil1.pdf

da wirst du wohl ein bisschen suchen müssen wenn dir das nicht reicht.

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