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Wert eines Integrals (Trapezregel, Fehlerschranke)

Universität / Fachhochschule

Tags: Fehlerschranke, Integral, Trapesregel

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16:11 Uhr, 20.04.2013

Hallo,
Hier wieder mal eine größere Aufgabe bei der ich Probleme mit den Unteraufgaben habe.

Aufgabe:
Der Wert des Integrals

I = \int_{a}^{b} f (x) d x, f (x) = c o s (x^{2}), a = 0, b = 1

soll mit der Quadraturformel

Q_{T}^{n}

der Trapez-Regel mit

n + 1

Stützstellen näherungsweise berechnet werden. Für deren Fehler

R = I - Q_{T}^{n}

gilt:

∣ R ∣ \leq \frac{M_{2} (b - a)}{12} h^{2}

mit

h = \frac{b - a}{n}

und einer oberen Schranke

M_{2}

für

∣ f ʺ (x) ∣

.

(a)Ermitteln Sie den Näherungswert

Q_{T}^{n}

für

I

mit

n = 4

.

(b)Welche Fehlerschranke erhält man für

Q_{T}^{4}

?
(Finden Sie hierzu

M_{2}

selbst, z.B. aus dem Graph von

f ʺ

.

(c)Wie müsste man

n

wählen, damit die Fehlerschranke nicht größer als

1 0^{- 4}

ist?

(d)Welchen Näherungswert für

I

erhält man, wenn an Stelle von

f

sein Taylor-Polynom zwölften Grades
(mit

x_{0} = 0

)exakt integriert wird?
--------------------------------------------------------
Meine Lösungen:
(a)

I = \int_{0}^{1} c o s (x^{2}) d x

Δ x = \frac{1}{4}, x = 0, x_{1} = 1 / 4, x_{2} = 1 / 2, x_{3} = 3 / 4, x_{3} = 1

I \approx \frac{\frac{1}{4}}{2} [f (0) + f (1) + 2 (f (1 / 4) + f (1 / 2) + f (3 / 4))]

\approx 0, 9999727722 F E

Das war jetz einfach nur die Trapez-Regel womit ich keine Probleme hatte.

(b)
Den Fehler zu berechnen ist auch einfach:

∣ I - 0, 9999727722 ∣ = 2, 5540 * 1 0^{- 6}

Nun steht in der Aufgabe aber noch das ich

M_{2}

finden soll. z.B. aus dem Graph von

f ʺ

. Ich habe mir den Graphen aufgemalt, aber ich weiß nicht was

M_{2}

sein soll. Die Ungleichung habe ich auch schon versucht nach

M_{2}

hin aufzulösen. Dies war jedoch von keinem Erfolg gekrönt.

(c) Kann ich ohne

M_{2}

nicht machen.

(d) Hier bräuchte ich jemanden der mir hilft, da ich bisher nur mit Taylor-Polynomen 1. Grades gearbeitet habe und nicht genau weiß wie das funktioniert.

-----------------

Ich Danke jedem der mir hilft.

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pwmeyer aktiv_icon

12:24 Uhr, 24.04.2013

Hallo,

wie hast Du denn den Fehler berechnet?

Jedenfalls steht in Aufgabe

b),

dass Du dafür die Fehlerabschätzung benutzen sollst. Und in der Fehlerabschätzung bedeutet das

M_{2}

höchst wahrscheinlich das Maximum der 2. Ableitung von

f

auf dem Intervall

[a, b]

.

Gruß pwm

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13:38 Uhr, 25.04.2013

Ja das mit m2 habe ich gestern auch herausgefunden dank meinem übungsleiter. Ich habe den fehler berechnet indem ich das integral einfach mit meinem taschenrechner ausgerechnet und dann mit dem ergebnis der trapezregel subtrahiert.

Ich werde das nachher nochmal probieren und posten

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16:13 Uhr, 28.04.2013

Ich komme iwie trotzdem nicht weiter..

Was genau muss ich jetzt machen?

Habe nur den Ansatz hier:

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17:31 Uhr, 28.04.2013

Nachdem du die Fehlerschranke ja jetzt ausgerechnet hast, stellst du einfach die Formel für die Fehlerschranke nach

h

um.

Es gilt:

h = \frac{1}{n}

Ich komme auf

n \geq 28,8684

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17:33 Uhr, 28.04.2013

Ja aber ist das auch so richtig wie ich das gemacht habe ich ahbe für M2 einfach 1 eingesetzt, weil ich einfach da das minimum des Integrals genommen habe.

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