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Wert eines Integrals berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Integral, Integralrechnung

TestAccount1245 aktiv_icon

19:51 Uhr, 17.03.2016

Hallo!

Ich bräuchte bitte bei folgender Integralrechnung eure Hilfe:

I = \int_{- π}^{π} (x + π) s i n (∣ x ∣) d x

Welches Verfahren müsste ich anwenden?
Steh' gerade ein bisschen auf der Leitung bei diesem Beispiel...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

20:07 Uhr, 17.03.2016

Woran scheitert es?

Am partiellen Integrieren oder stört dich der Betrag?

rundblick aktiv_icon

20:23 Uhr, 17.03.2016

.

" Steh' gerade ein bisschen auf der Leitung ..."

hey Roman,
nachdem du ihn mit deiner klaren und einfachen Frage wohl überfordert hast,
hat er sich offensichtlich vor Schreck sogar "ein bisschen" hingelegt ?

.

Atlantik aktiv_icon

11:22 Uhr, 18.03.2016

= \int_{- Π}^{Π} (x + Π) \cdot sin (| x |) d x = \int_{- Π}^{Π} (x \cdot sin (| x |)) d x + Π \cdot \int_{- Π}^{Π} (sin (| x |)) d x

mfG

Atlantik

Bummerang

11:48 Uhr, 18.03.2016

Hallo Atlantik,

wenn schon vereinfachen, dann richig:

\int_{- π}^{π} (x \cdot sin (| x |)) d x

= \int_{- π}^{0} (x \cdot sin (| x |)) d x + \int_{0}^{π} (x \cdot sin (| x |)) d x

= \int_{- π}^{0} (x \cdot sin (- x)) d x + \int_{0}^{π} (x \cdot sin (x)) d x

= \int_{- π}^{0} (x \cdot (- sin (x))) d x + \int_{0}^{π} (x \cdot sin (x)) d x

= \int_{- π}^{0} (- x \cdot sin (x)) d x + \int_{0}^{π} (x \cdot sin (x)) d x

Da dir Funktion

x \cdot sin (x)

achsensymmetrisch zur y-Achse ist (weil beide Faktorfunktionen zentralsymmetrisch zum Ursprung sind), ist auch

- x \cdot sin (x)

achsensymmetrisch zum Ursprung. Deshalb kann man die Integrationsgrenzen ändern, indem man statt von a bis

b

von

- b

bis a integriert.

= \int_{- 0}^{- (- π)} (- x \cdot sin (x)) d x + \int_{0}^{π} (x \cdot sin (x)) d x

= \int_{0}^{π} (- x \cdot sin (x)) d x + \int_{0}^{π} (x \cdot sin (x)) d x

= \int_{0}^{π} (- x \cdot sin (x) + x \cdot sin (x)) d x

= \int_{0}^{π} (0) d x

= 0

und analog kann man unter Beachtung der Punktsymmetrie zum Ursprung

(\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} - f (- x) d x = \int_{- b}^{- a} f (x) d x)

gewinnen

\int_{- π}^{π} (sin (| x |)) d x = 2 \cdot \int_{0}^{π} (sin (x)) d x

Alles zusammen ergibt

\int_{- π}^{π} (x \cdot sin (| x |)) d x = 2 \cdot π \cdot \int_{0}^{π} (sin (x)) d x

Atlantik aktiv_icon

12:26 Uhr, 18.03.2016

Danke dir! Das wird dann dem Fragesteller weiterhelfen.

mfG

Atlantik

TestAccount1245 aktiv_icon

15:42 Uhr, 18.03.2016

In der 2. Zeile: Der sin(|x|) bzw. sin(|-x|) wird einfach gleich sin(x) bzw. sin(-x) ?

Und warum kommt beim 1. Integral 0 raus und beim 2. Integral

2 \int_{0}^{π} s i n (x) d x

???

Ich blick da noch immer nicht ganz durch :(

linuxdoesitbetter aktiv_icon

16:10 Uhr, 18.03.2016

Hallo Nr. 1245,

du siehst doch die Intervallgrenzen. Wenn x im Intervall von

- π

bis

0

liegt, dann gilt doch wohl offensichtlich:

∣ x ∣ = - x

oder? Und wenn x im Intervall zwischen

0

und

π

liegt, dann ist doch wohl

∣ x ∣ = x

.

Nachdem nun der Betrag weg ist, kannst du, so wie es Roman vorgeschlagen hat, auf beide Summanden die Rechenregeln für die partielle Integration anwenden.

Wählst du z.B.

g (x) = x + π

, dann wird das verbleibende Integral schön einfach.

Mfg,
ldib

rundblick aktiv_icon

20:24 Uhr, 18.03.2016

\int_{- π}^{π} (x + π) \cdot sin (| x |) \cdot d x =

?

also - inzwischen scheint klar, dass hier eine Fallunterscheidung am Anfang steht

für

x < 0

wirst du also dieses erste Teilintegral

F_{1}

berechnen :

\to F_{1} = \int_{- π}^{0} (x + π) \cdot sin (- x) \cdot d x = (- 1) \cdot \int_{- π}^{0} (x + π) \cdot sin (x) \cdot d x = .

.

wenn du es (zB gemäss obigen Anleitungen) richtig machst,
bekommst du als Ergebnis

\to F_{1} = π

das zweite Teilintegral

F_{2}

(für

x > 0)

wird dir dann einen um Einiges grösseren Wert bescheren

\to

welchen ?

\to F_{2} = ...

.

gesamt bekommst du also dann

\int_{- π}^{π} (x + π) \cdot sin (| x |) \cdot d x = π + F_{2} =

?

.

TestAccount1245 aktiv_icon

13:51 Uhr, 08.04.2016

Hallo!

Meine Berechnung ist im Anhang.
Ich komme auf das Endergebnis

4 π

Passt das?

ledum aktiv_icon

17:22 Uhr, 08.04.2016

Hallo
richtig, aber 2 mal das allgemeine Integral wieder auszurechnen ist überflüssig.
Gruss ledum

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