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Wert von cos(72) berechnen

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Sonstiges

Tags: Cosinus, Trigonometrie, Trigonometrische Funktion, Winkel

iaaan aktiv_icon

20:22 Uhr, 27.02.2018

Guten Abend,
Meine Frage lautet wie sich $z . B$ . der Wert $cos (72)$ ohne Taschenrechner oder jegliche Hilfsmitteln berechnen lässt?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

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rundblick aktiv_icon

20:33 Uhr, 27.02.2018

.
.. wie ist der Winkel $(72)$ zu lesen?
.. Gradmass, Bogenmass - oder was?

.

iaaan aktiv_icon

20:39 Uhr, 27.02.2018

Hallo,
Gradmass, also der genaue wert für cos(72(grad)) ist gesucht.

rundblick aktiv_icon

21:03 Uhr, 27.02.2018

.
$cos$ 72(neugrad) $~ 0,42577929156507264 ... . .$ .
$cos$ 72° $~ 0,30901699 . .$ .

"also der genaue wert für cos(72(grad)) ist gesucht.
( ohne Taschenrechner oder jegliche Hilfsmitteln $!!)$ "

$\to$ da musst du wohl lange suchen,

denn den genauen Wert von $cos$ 72° gibt es nicht so leicht ..
du kannst also höchstens irgendwelche Näherungswerte
ermitteln (zum Beispiel durch Einschatelung mit bekannten
Nachbarwinkeln)

wer hat dir diese geniale Aufgabe angedreht?
.. und vielleicht sieht der Aufgabentext ja genauer/vernünftiger aus?

Gruss an DrB.
.

DrBoogie aktiv_icon

21:13 Uhr, 27.02.2018

Der genaue Wert von $\cos (7 2^{\circ})$ ist $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ .

Hier die Einzelheiten:
http//www.math-only-math.com/exact-value-of-cos-72-degree.html

DrBoogie aktiv_icon

21:13 Uhr, 27.02.2018

rundblick, Dein Taschenrechner ist wohl kaputt ;-)

rundblick aktiv_icon

21:36 Uhr, 27.02.2018

.
"...ist wohl kaputt "

hm - im Gegenteil . er hat eine Option zuviel (angeschrieben mit Grad ;-) $)!!$
ach ja: siehe Fragestellung $\to$ "also der genaue wert für cos(72(grad)) ist gesucht."

Korrektur (neu: statt Gon in Deg) siehe oben .. (danke> $!)$

aber egal - ia!aan - ist eh sprachlos abgetaucht - und rätselt in massloser Dankbarkeit
an der Verifizierung der hübschen englischen "Einzelheiten".
.

iaaan aktiv_icon

11:33 Uhr, 28.02.2018

So die Aufgabenstellung habe in beigefügt. Hätte nicht gedacht, dass die Berechnung dieser Aufgabe so aufwendig sein würde...
LG

iaaan aktiv_icon

11:39 Uhr, 28.02.2018

Danke sehr! Auf diesen Wert bin ich beim Googeln ebenfalls zugestoßen, dennoch habe ich gehofft eine einfachere Erklärung zu finden...
LG

Roman-22

12:21 Uhr, 28.02.2018

Scheitert es da nicht auch am Leseverständnis?

Den Angabesatz
"Berechnen Sie bitte auf drei Nachkommastellen genau den Wert für $cos (72^{\circ})$ . "
verstehst du als
"...also der genaue wert für cos(72(grad)) ist gesucht. "

Beachte: "auf drei Nachkommastellen genau" $\neq$ "genau"

Was macht ihr denn gerade in der Vorlesung?

Und wo genau steht, dass das "ohne Taschenrechner oder jegliche Hilfsmitteln" zu bearbeiten ist? Wenn das stimmt, dann stellt sich die Frage, auf wie viele Nachkommastellen genau ihr die Werte von $π, \sqrt{3}, \sqrt{5},$ etc. auswendig wissen müsst. Schließlich geht es um den Winkel $\frac{2 π}{5}$ .
Wie würdest du denn den exakten Wert von $cos (72^{\circ})$ ohne Hilfsmittel auf drei Nachkommastellen genau berechnen und wie stellst du sicher, dass die dritte Nachkommastelle tatsächlich noch richtig ist?

iaaan aktiv_icon

12:30 Uhr, 28.02.2018

Ja tut es, aus $i$ .einem Grund war ich der Meinung den genauen Wert gelesen zu haben. Auf drei Nachkommestellen vereinfacht die Aufgabe um einiges, jedoch wüsste ich immer noch nicht wie ich an dieser Sache rangehen sollte. Zuerst überlegte ich mir, den Wert aus $i$ .welchen Bekannten Winkeln mir zusammenzusetzen...komme dennoch nicht voran :-)
Die Aufgabe gehört zum Themenbereich trigonometrische Funktionen .
Soweit ich weiß, müssen wir die besonderen Sin, Cos, Tan- Werte kennen. $Z . B : 0, 30, 60,$ usw.. Die Werte sind mir aber auch bekannt.

ermanus aktiv_icon

12:39 Uhr, 28.02.2018

Hallo,
hier von meiner Seite noch eine komplexe Rechnung:
$7 2^{o} = 36 0^{o} / 5$ ist der Innnenwinkel eines regulären Fünfecks,
d.h. der Winkel der ersten primitiven 5-ten Einheitswurzel.
Für die 5-ten Einheitswurzeln gilt $0 = z^{5} - 1 = (z - 1) (z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1)$ .
Eine primitive 5-te Einheitswurzel genügt also der Gleichung:
$z^{4} + z^{3} + z^{2} + z = - 1$ .

Wir setzen
$z_{1} = z^{4} + z$ und $z_{2} = z^{3} + z^{2}$ .
Dann ist $z_{1} = 2 R e (z) = 2 \cos (7 2^{o})$ .
Wir müssen also nur $z_{1}$ bestimmen:

Wegen $z^{5} = 1$ gilt:

$z_{1}^{2} = z_{2} + 2$ und
$z_{2}^{2} = z_{1} + 2$ .

Subtraktion dieser Gleichungen ergibt
$z_{1}^{2} - z_{2}^{2} = z_{2} - z_{1} \Rightarrow z_{1} + z_{2} = - 1 \Rightarrow z_{1}^{2} = - 1 - z_{1} + 2 \Rightarrow z_{1}^{2} + z_{1} - 1 = 0$ .
Das liefert $z_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ ( Die negative Wurzel gehört nicht zur ersten Einheitswurzel ).
Also $\cos (7 2^{o}) = z_{1} / 2 = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}$ .

abakus

12:41 Uhr, 28.02.2018

Hallo Roman,
du zweifelst Leseverständnis an, gehst aber selbst mit keiner Silbe darauf ein, dass nach dem vorliegenden Text die für kleine Winkel gültige Beziehung $s i n (x) \approx x$ verwendet werden soll.

Es gilt $c o s 72 ° = s i n 18 °$ , und für $s i n 18 °$ ergibt sich damit schon ein guter Näherungswert von $π / 10$ .
Falls das noch nicht genau genug ist, könnte man vielleicht $s i n 9 °$ durch $π / 20$ annähern, daraus $c o s 9 °$ annähernd berechnen und zur Doppelwinkelformel greifen.

Roman-22

12:51 Uhr, 28.02.2018

$>$ Soweit ich weiß, müssen wir die besonderen Sin, Cos, Tan- Werte kennen. $Z . B : 0,30,60,$ usw.
Natürlich, aber $sin (60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ und ich nehme an, dass ihr diesen exakten Ausdruck kenne sollt und nicht den numerischen Näherungswert $0,8660254038,$ richtig.
Selbst wenn es dir also durch geschickte Umformung gelingt, diesen Wert irgendwie ins Spiel zu bringen, stellt sich doch die Frage nach der numerischen Berechnung auf drei Nachkommastellen ohne TR und der Sicherstellung, dass die dritte NKSt noch richtig ist, also die Frage der Fehlerabschätzung.
genau deshalb stellte ich oben die Frage, wie genau ihr die numerischen Werte von $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, π,$ etc. wissen müsst.

Auch der Hinweis das für hinreichend kleine Winkel (natürlich im Bogenmaß angegeben!) $sin x \approx x$ gilt, irritiert mich etwas. Natürlich kann man die Beziehung $cos (72^{\circ}) = sin (18^{\circ}) = sin (\frac{π}{10})$ . Jetzt kann man natürlich erwarten, dass ein Student ein paar Nachkommastellen von $π$ auswendig kennt und $π \approx 3,14159265$ angeben kann und somit weiß, dass $\frac{π}{10} \approx 0,314$ ist. Aber dass entspricht leider nicht dem $sin (\frac{π}{10})$ mit einer Genauigkeit von $10^{- 3},$ denn $sin (x) \approx x$ gilt mit dieser Genauigkeit nur bis ca. ${10,4}^{\circ}$ .

Roman-22

13:01 Uhr, 28.02.2018

$>$ Hallo Roman, du zweifelst Leseverständnis an,
Zu Recht, wie sich herausgestellt hat.

$>$ gehst aber selbst mit keiner Silbe darauf ein, dass nach dem vorliegenden Text die für kleine Winkel gültige Beziehung sin(x)≈x verwendet werden soll.
In meiner ersten Antwort nicht. Die Kritik bezog sich ja auch nur auf die fehlerhafte Interpretation der Aufgabenstellung die ja schließlich zu unnötig "leeren Kilometern der Antwortenden" geführt hatten.

$>$ Es gilt cos72°=sin18°, und für sin18° ergibt sich damit schon ein guter Näherungswert von π/10.
Nicht gut genug, wie eben oben ausgeführt

$>$ Falls das noch nicht genau genug ist, könnte man vielleicht sin9° durch π/20 annähern, daraus cos9° annähernd berechnen und zur Doppelwinkelformel greifen.
Du meinst also, dass man mit hinreichend Kenntnis der Nachkommastellen von $π$ den Ausdruck $2 \cdot \frac{π}{20} \cdot \sqrt{1 - {(\frac{π}{20})}^{2}}$ ohne Hilfsmittel berechnen soll und danach auch noch überprüft (WIE?) ob man die gewünschte Genauigkeit erreicht hat? Kommt mir unrealistisch vor. Außerdem muss ich dich enttäuschen, denn auch dieser Ausdruck liefert immer noch nicht die gewünschte Genauigkeit.

Eine Anmerkung noch: Um $sin (\frac{π}{10})$ mithilfe der Reihenentwicklung von $sin x$ auf die gewünschte Genauigkeit zu berechnen, benötigt man die Beziehung $sin x \approx x - \frac{x^{3}}{6}$ . Den Fehler kann man leicht, da es sich um eine alternierende Reihe handelt, mit den nächsten Glied $\frac{x^{5}}{120}$ abschätzen. Für $x = \frac{π}{10}$ ist das ca. $2,6 \cdot 10^{- 5}$ . Also genau genug.
Fehlt aber trotzdem noch die Abschätzung des Gesamtfehlers bei Verwendung eines Näherungswertes für $π$ . Es stellt sich heraus, dass $π \approx 3,14$ genau genug ist, um mit $0,314 - \frac{{0,314}^{3}}{6} \approx 0,309$ den $sin (\frac{π}{10})$ mit der gewünschten Genauigkeit zu berechen. Aber wie zeigt und berechnet man das alles händisch in der $(\in$ der Regel recht kurzen) Kolloquiumszeit?

ermanus aktiv_icon

13:17 Uhr, 28.02.2018

In der Aufgabenstellung steht nicht, dass man $\sin (x) \approx x$ verwenden soll/muss (!).
Daher sind auch durchaus andere Zugänge keineswegs "verboten". Zumindest
lässt sich $\sqrt{5}$ mit Intervallschachtelung o.ä. leicht auf 3 Dezimalen
bestimmen.

Roman-22

13:34 Uhr, 28.02.2018

$>$ In der Aufgabenstellung steht nicht, dass man sin(x)≈x verwenden soll/muss $(!)$ .
Das ist natürlich richtig, allerdings würde ich diesen "Hinweis" dann als grobe Bösartigkeit ansehen.
Und wenn ich beachte, dass das nur der Unterpunkt $f)$ einer Aufgabe, die auch wohl nicht die einzige sein wird, ist, kommt mir der Aufwand, erst den exakten Term mehr oder weniger trickreich herzuleiten um dann mit einem Näherungswert für $\sqrt{5}$ de numerischen Wert zu ermitteln, deutlich zu groß vor.
Außerdem müsste man dann noch zeigen, dass drei Nachkommastellen von $\sqrt{5}$ ausreichen, um das Gesamtergebnis auf drei Nachkommastellen genau zu erhalten.
Dass in Wirklichkeit sogar nur 2 Nachkommastellen, also $\sqrt{5} \approx 2,24,$ ausreichen, weiß man ja ohne Hilfsmittel in der Klausur nicht.

Meine Vermutung ist, dass einfach $cos (72^{\circ}) = sin (18^{\circ}) = sin (\frac{π}{10}) \approx \frac{π}{10} \approx 0,314$ gemeint war. Der Fehler liegt da allerdings bei ca. $5 \cdot 10^{- 3}$ und kann mit dem nächsten Glied der Reihe, $\frac{1}{6} \cdot {(\frac{π}{10})}^{3} \approx 5,2 \cdot 10^{- 3}$ gut abgeschätzt werden.
Vielleicht hat der Aufgabenersteller nicht beachtet, dass ein Fehler von $5 \cdot 10^{- 3}$ KEINE Genauigkeit auf drei Nachkommastellen bedeutet, vielleicht wollte er anstelle von "drei"´auch "zwei" tippen, $. .$ . wir wissen es nicht.

ermanus aktiv_icon

13:43 Uhr, 28.02.2018

Hallo Roman,

schätze, dass du das richtig beurteilst. Ganz zu Anfang war ja auch noch Rede
von einem genauen Wert. Die Methode, exakte Wurzelausdrücke für $\cos$ oder $\sin$
für natürliche Teiler von $36 0^{o}$ zu bekommen, indem man die Kreisteilungspolynome
benutzt (a la Gauss) ist natürlich ein Klassiker, den ein Student/eine Studentin
nur zur Verfügung hat, wenn der komplexe Einheitswurzel-Stoff in der Vorlesung
dran war. Na ja, mal gesehen zu haben, dass es durchaus systematisch und elegant geht,
kann ja nicht schaden ;-)

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