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Wie wird das integriert: ∫√3x dx ?

Schüler Gymnasium,

Tags: Integral, integrieren, Wurzeln

Sina2012 aktiv_icon

22:54 Uhr, 02.01.2013

Hallo,
gibt es für solche unbestimmte Integrale(∫√3x dx)eine bestimmte Methode, wie man aus ihnen die Stammfunktion ermittelt? Bitte dringend um Hilfe! Es geht um Leben und Tod (spaß)

Ist das so richtig:

Erst umschrieben

x

hoch ein drittel dann

4 x

hoch ein viertell?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ma-Ma aktiv_icon

23:33 Uhr, 02.01.2013

Du meinst

\sqrt{3 x}

?

Also

\int (\sqrt{3 x}) d x

Wenn ja, so nehme

\sqrt{3} \cdot \sqrt{x}

.

Ziehe den Faktor

\sqrt{3}

vor das Integral.

\sqrt{3} \cdot \int (\sqrt{x}) d x

Schreibe die Wurzel als Potenz um ...und integriere

. .

.

LG Ma-Ma

Sina2012 aktiv_icon

23:40 Uhr, 02.01.2013

Hallo Ma-Ma, danke erstmal.
Leider hatten wir das noch nicht mit Faktor vor das Integral ziehen.
Kannst du auch sagen wie man die Wurzel als Potenz umschreibt, ich meine gibt es da eine konkrete Methode für, die man auf alle Wurzeln anwenden könnte.

Ma-Ma aktiv_icon

23:51 Uhr, 02.01.2013

Wurzel als Potenz

\to

siehe 8.Klasse

\to

hattet ihr sicher schon

. .

. *schmunzel*

Werfe mal ganz fix ein Blick in Deine Formelsammlung, dann erinnerst Du Dich sicher wieder

\to

Potenzgesetze.
Wirst Du beim Integrieren desöfteren brauchen

. .

1)

Versuche jetzt erstmal das Umschreiben.

2)

Dann integriere.

Was erhälst Du ?

LG Ma-Ma

Sina2012 aktiv_icon

00:43 Uhr, 03.01.2013

Ich habe folgendes raus:

Doppelbruch: drei durch drei zweitel

X

hoch drei zweitel.
Sorry für die Schreibweise, konnte aber kein doppelbruch und Burch in der Potenz bilden. Ist das richtig so?

Ma-Ma aktiv_icon

00:59 Uhr, 03.01.2013

Hmm

. .

. kann das nicht ganz intepretieren

. .

\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

\sqrt{3} \cdot \int (x^{\frac{1}{2}}) d x = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \sqrt{x^{3}} + C

Beachte, der konstante Faktor

\sqrt{3}

bleibt erhalten, ändert sich nicht.
Die Konstante

C

wird (bei unbestimmten Integralen) hinten angefügt.

Kannst Du Dein Ergebnis auch so umformen ?

LG Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

01:03 Uhr, 03.01.2013

Zusatzhinweis: Doppelbruch in der Potenz kann mit geschweiften Klammern dargestellt werden.

z . B

x^{\frac{1}{2}}

schreibt man "x^

{

1/2}"

. .

. (ohne die Anführungszeichen)

LG Ma-Ma

Sina2012 aktiv_icon

12:50 Uhr, 03.01.2013

Hallo Ma-Ma,
ich weiß, dass folgende Antwort richtig ist, aber wie komme ich auf

\frac{2}{9}

?

∫ √

3 x d x = \frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + C

Bitte, kannst du mir das Schrittweise und unkompliziert erklären. Wäre echt super.

prodomo aktiv_icon

16:36 Uhr, 03.01.2013

Ma-ma scheint offline zu sein, vielleicht kannst du mit dem folgenden Text weiterkommen:

\int \sqrt{3 \cdot x} \cdot d x

kannst du mit Substitution integrieren (wenn das schon dran war),. also

3 \cdot x = z, z' (x) = 3

und damit

d x = \frac{1}{3} \cdot d z

. Dann bekommst du

\int \frac{1}{3} \cdot \sqrt{z} \cdot d z = \int \frac{1}{3} \cdot z^{\frac{1}{2}} \cdot d z = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot z^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{9} \cdot z^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot x)}^{\frac{3}{2}}

Wenn du noch keine Substitution kennst, kannst du teilweises Wurzelziehen (Mittelstufe) benutzen und

\int \sqrt{3} \cdot \sqrt{x} \cdot d x

schreiben. Multiplikative Konstanten bleiben beim Integrieren ebenso stehen wie beim Ableiten (das war mit "vor das Integral ziehen" gemeint), also

\sqrt{3} \cdot \int z^{\frac{1}{2}} \cdot d x = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}}

. Das ist dasselbe wie oben, weil man es durch Erweitern mit 3 zu

{(\sqrt{3})}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{9} \cdot x^{\frac{3}{2}}

und dann zu

\frac{2}{9} \cdot {(3 \cdot x)}^{\frac{3}{2}}

umformen kann

Sina2012 aktiv_icon

17:23 Uhr, 03.01.2013

Hallo, danke erstmal euch beiden.

Ich habe jetzt auch eine für mich sehr einfache Lösung gefunden. Bitte korrigieren, wenn die falsch sein sollte. Aber wenn ich die Ergebnisse der Stammfunktionen in Taschenrechner eingeben, dann kommt dasselbe raus.

Also nach dem Umstellen von √3x

d x

bekommen wir ja

{(3 x)}^{\frac{1}{2}}

raus. Jetzt ganz normal integrieren und den Korrekturfaktor hinzufügen. Dann hätten wir:

\frac{1}{3} \cdot \frac{{(3 x)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}

Ist das richtig so?

prodomo aktiv_icon

08:11 Uhr, 04.01.2013

Den "Korrekturfaktor" gibt es so nicht. Was du versuchst, ist im Grunde eine Substitution.

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