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Winkel zwischen zwei Vektoren mit Parameter

Schüler Gymnasium,

Tags: Parameter, Skalarprodukt, Vektor, Winkel

Christina13 aktiv_icon

14:00 Uhr, 21.05.2020

Guten Tag,

ich sitze an einer Aufgabe, bei der ich aber einfach nicht weiterkomme. Vielleicht habe ich dort einen ganz banalen Fehler eingebaut, aber ich sehe mittlerweile vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr.

Ich soll

λ

so bestimmen, dass der Winkel zwischen den beiden Vektoren

\frac{π}{4}

beträgt.

x = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ λ \\ 2 \end{matrix})

y = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \sqrt{2} \\ 0 \end{matrix})

Zum Lösen möchte ich mir folgende Gleichung zu Nutze machen:

x \circ y = | x | \cdot | y | \cdot cos (α)

bzw.

\frac{x \circ y}{| x | \cdot | y |} = cos (α)

Ermitteln des Skalarprodukts der beiden Vektoren sowie ihrer Beträge:

x \circ y = λ \cdot 2 \cdot \sqrt{2}

| x | = \sqrt{λ^{2} + 16}

| y | = \sqrt{13}

Nun setze ich die Werte in die Gleichung ein:

\frac{λ \cdot 2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{λ^{2} + 16} \cdot \sqrt{13}} = cos (\frac{π}{4})

Ich quadriere um die Wurzeln zu eliminieren:

\frac{{(λ \cdot 2 \cdot \sqrt{2})}^{2}}{(λ^{2} + 16) \cdot 13} = {cos (\frac{π}{4})}^{2}

Jetzt löse ich die Klammer im Nenner auf:

\frac{{(λ \cdot 2 \cdot \sqrt{2})}^{2}}{13 λ^{2} + 208} = 0,5

Nun bringe ich den Nenner auf die andere Seite und löse die Klammern auf:

{(λ \cdot 2 \cdot \sqrt{2})}^{2} = 0,5 \cdot (13 λ^{2} + 208)

λ^{2} \cdot 4 \cdot 2 = 6,5 λ^{2} + 104

8 λ^{2} = 6,5 λ^{2} + 104

Nun löse ich die Gleichung auf:

1,5 λ^{2} = 104

λ = 8,32667

Wenn ich dieses

λ

nun einsetze und die Probe machen möchte, dann stellt sich heraus, dass der Wert falsch ist.
Hat jemand von Euch einen Tipp für mich oder kann sehen, wo mein Fehler liegt? Egal, wie ich es probiere, es klappt einfach nicht.

Viele Grüße
Christina

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten

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Respon

14:09 Uhr, 21.05.2020

Schau dir

| \vec{x} |

nochmals an.

Christina13 aktiv_icon

14:56 Uhr, 21.05.2020

Hallo Respon,

vielen Dank für Deine Antwort und den Hinweis auf den Fehler, den ich beim Berechnen von

| \vec{x} |

gemacht habe.

| \vec{x} |

müsste korrekterweise

\sqrt{λ^{2} + 4}

lauten.

Ich hab es jetzt noch einmal gerechnet und komme nun für

λ

auf einen Wert von

\sqrt{\frac{52}{3}}

Mit diesem Wert habe ich nun die Probe gemacht und komme damit auf das passende Ergebnis.

Vielen Dank noch einmal!

Viele Grüße
Christina

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