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Z-Koordinaten aus Fermat-Punkt gesucht
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Funktionen
Grenzwerte
Tags: 3D-Geometrie, Analytische Lösung, Differentiation, Extremwert, Fermat-Punkt, Funktion, Grenzwert, inverse Berechnung, Optimierung
 
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Hallo zusammen, Vor einiger Zeit hatte ich hier bereits gefragt, wie man den Fermat-Punkt (Torricelli-Punkt) berechnet. Nun stehe ich vor dem inversen Problem und brauche erneut eure Unterstützung. Ausgangssituation: Ich habe drei Punkte A, B und C, von denen ich die X- und Y-Koordinaten kenne Die Z-Koordinaten dieser Punkte sind die Unbekannten Die Position des Fermat-Punktes F ist bekannt (X, Y, Z) Die Vorwärtskinematik habe ich in GeoGebra modelliert: [ www.geogebra.org/calculator/y6hszf9p] Ziel: Ich möchte die Z-Koordinaten der Punkte A, B und C berechnen, wenn die Position des Fermat-Punktes F gegeben ist. Wichtig: Ich suche explizit nach einer analytischen Lösung, da es für meine Konfiguration nachweislich immer nur eine Lösung gibt, sollte eine analytische Berechnung möglich sein Bekannte Eigenschaften: Der Fermat-Punkt liegt in meiner Konfiguration so, dass alle Verbindungslinien zu den Eckpunkten Winkel von 120° zueinander bilden. Die drei Punkte A, B, C liegen alle auf einer Ebene. Ich freue mich über jeden Ansatz oder Tipp, wie ich dieses inverse Problem analytisch lösen könnte. Bei Bedarf kann ich gerne weitere Details oder Erläuterungen bereitstellen. Vielen Dank im Voraus! Gruss AarZeon Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Einführung Funktionen Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion |
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Sieht knifflig aus. Auf jeden Fall dürfte die Lösung i.a. nicht eindeutig sein: Spiegelt man ein Lösungsdreieck an der zur xy-Ebene parallelen Ebene durch , so entsteht ein zweites Lösungsdreieck. Deutet darauf hin, dass man bei einer analytischen Lösung wohl irgendwann auf eine quadratische Gleichung stößt - im günstigsten Fall wohlgemerkt. ;-) |
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Danke für den Hinweis HAL9000, ich habe die zweite Lösung in GeoGebra nachgetragen. Macht also mein Problem nur noch schwieriger, da diese zwei Lösungen einen anderen Normalenvektor ergeben. Jedoch ist die Erkenntnis wichtig und das heißt, ich bräuchte beide Lösungen und später dann den Normalenvektor berechnen - das ist aber kein Problem :-)  |
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Ich brainstorme mal etwas, um eine Vorstellung von dem Problem zu kriegen - ist dir wohl sowieso bereits klar: Legt man einen der drei Eckpunkte fest (d.h. dessen z-Koordinate), o.B.d.A. Punkt , dann ist bestimmt zum einen durch die Gerade mit , zum anderen durch Bedingung , das müsste im Raum ein Kegel sein. Gerade und Kegel besitzen bei allgemeiner Lage maximal zwei gemeinsame Punkte, in deiner Konstellation wohl genau zwei. Dasselbe kann man auch mit machen. Gültig ist das ganze natürlich nur dann, wenn in einer Ebene liegen, etwa indem man überprüft. ------------------------------------------------------------------------ Zu den Bestimmungsgleichungen: Als erstes würde ich in den Nullpunkt verschieben - entsprechend ändern sich die xy-Koordinaten der drei Punkte , das erleichtert das Aufschreiben. Die Fermatbedingung übertragen auf das Skalarprodukt bedeutet mit Koordinaten geschrieben unter Berücksichtigung von heißt das dasselbe nun auch noch mit und geschrieben. Ergibt ein GLS mit drei Gleichungen für die drei Unbekannten , allerdings ein ziemlich kompliziertes (selbst nach Quadrierung). Bezogen auf das von mir oben beschriebene Szenario: Bei festem erkennt man nach Quadrierung von (1) eine quadratische Gleichung für . |
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Danke für deine ausführlichen Überlegungen! Ich habe die Situation mit F im Ursprung in GeoGebra visualisiert, um besser zu verstehen, was passiert. www.geogebra.org/material/copy/id/y6hszf9p Bei deinem Vorschlag, zA fest zu wählen, sehe ich ein Problem: Da wir F im Ursprung (0,0,0) fixiert haben und die x,y-Koordinaten von A, B und C bereits festgelegt sind, können wir nicht einfach einen beliebigen zA-Wert wählen. Dies würde die Geometrie mit den 120°-Winkeln zwischen FA, FB und FC zerstören, da F dann nicht mehr der Fermat-Punkt des Dreiecks wäre. Die drei Skalarproduktgleichungen der Form: xAxB + yAyB + zAzB = -1/2 * √((xA² + yA² + zA²)(xB² + yB² + zB²)) werden in der Tat ein kompliziertes Gleichungssystem ergeben. Gibt es vielleicht alternative Wege zur Bestimmung der z-Koordinaten, da ich nicht in der Lage bin so ein komplexes System zu lösen/nutzen? |
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> Bei deinem Vorschlag, zA fest zu wählen Das hast du falsch verstanden: Das war KEIN Vorschlag für eine Lösung (kenntlich gemacht durch "Gültig ist das ganze natürlich nur dann...") !!! Sondern nur ein Gedankenspiel (Brain Storming!!!) was passiert, wenn man zunächst fest wählt: Dann wird i.d.R. die Bedingung "A,B,C,F in einer Ebene" verletzt sein. Ich dachte, das hätte ich hinlänglich DEUTLICH dargelegt - also leg mir bitte nicht die Falschaussage in den Mund, dass das eine Lösung wäre. :( |
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Entschuldige bitte das Missverständnis! Du hast natürlich Recht - es war nur ein Gedankenexperiment/Brainstorming zur geometrischen Analyse, kein Lösungsvorschlag. Vielleicht können wir das Problem von einer anderen Seite betrachten? Hast du eine Idee dazu? |
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Dass man das Gleichungssystem echt analytisch lösen kann, da sehe ich schwarz. Man schafft es evtl. das ganze durch Elimination auf eine algebraische Gleichung zu bringen, aber ich schätze mal Ordnung 6 oder 8, d.h., wofür es keine expliziten Auflösungsformeln mehr gibt. D.h. man wird so oder so auf ein Näherungsverfahren zurückgreifen müssen. P.S.: Vielleicht täusche ich mich ja auch, so wie letztens: www.onlinemathe.de/forum/Gleichungssystem-symbolisch-loesen |
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Vielleicht macht es Sinn, das Problem zunächst in 2D zu betrachten? Wir kennen die Koordinaten des Fermat-Punktes (X=3, Y=12). Außerdem wissen wir: Punkt A liegt auf der Y-Achse (X=0) Punkte B und C haben denselben Y-Wert Mit diesen Bedingungen und den 120° - Winkeln müsste es möglich sein, die Punkte A, B und C eindeutig zu bestimmen. Dies könnte uns helfen, das 3D-Problem besser zu verstehen. Was meinst du zu diesem Ansatz?  |
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Ich verstehe nicht, worin die Analogie besteht, wenn man das hier > Punkte B und C haben denselben Y-Wert fordert. Generell: Was genau ist in deinem 2D-Problem fest gegeben, und was variabel (und demnach gesucht)? |
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Vielleicht haben wir uns falsch verstanden. Im Bild habe ich markiert, dass B und C denselben Y-Wert haben. Ich definiere den Fermat-Punkt mit den Koordinaten (12, 3) in diesem Beispiel. Damit sollte man das Verhältnis der Strecken AB, BC und CA berechnen können. Vielleicht hilft das uns beim 3D-Problem weiter? Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich da auf dem Holzweg bin.  |
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Ich kann dir nicht folgen, und weiß daher auch nicht, wie diese andere Situation beim Lösen des obigen Gleichungssystems helfen soll. |
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Soweit ich das sehe ist dein Problem so wie du es formuliert hast grob unterbestimmt und hat zwei Freiheitsgrade. Du kannst A beliebig auf der y-Achse wählen und dann die beiden 120° (bzgl AF) Strahlen durch mit einer beliebigen x-Parallelen schneiden um die Punkte und zu erhalten. Nachfolgend meine Gedanken zu deinem ursprünglichen 3D-Problem. Sie führten zwar auf ein Gleichungssystem in zwei Variablen, doch war mein CAS nicht imstande dieses zu lösen. Man wähle eine Ebene durch festgelegt durch den Normalvektor und bestimme die z-Koordinaten der Punkte unter der Annahme, dass diese in dieser Ebene liegen. Erstprojizierende Ebenen sind mit diesem Ansatz allerdings nicht erfasst, da bei diesen die z-Komponente des Normalvektors Null wäre. Jetzt kann man aus der Forderung, dass sein muss zwei Gleichungen für und aufstellen. Mein CAS hat da aber leider . gegeben, aber vielleicht hat ja wieder jemand einen geschickteren Ansatz zur Lösung. Im Anhang zwei Bilder die den Lösungsversuch und die Zwischenergebnisse aus meinem Programm zeigen.   |
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Hallo zusammen, Ich habe einwenig nach recherchiert, ob andere Personen ein ähnliches Problem wie ich haben. Dabei bin ich auf folgendes File gestossen. profdoc.um.ac.ir/articles/a/1033605.pdf Da mir die mathematischen Ausführungen zu komplex sind, würde ich mich über Unterstützung bei der Interpretation freuen. Gruss AarZeon |
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Hm, ich hatte mal eine Fermatpunktberechnung in wxMaxima geschrieben und einfach mal geschaut was rum kommt FG:Fermat(a1,a2,x],[b1,b2,y],[c1,c2,z]) das Ergebnis ist ein paar Seiten lang kann aber nach ggb exportiert werden und mit numerisch solve erhalte ich tatsächlich eine Antwort - erstaunlich.. Ob das eine Eintagsfliege ist kann nicht sagen. Für dein Beispiel musste ich Startwerte vorgeben um deine Werte zu erhalten: NSolve(FP_1 FP_2 FP_3 ohne Startwerte kam ich auf was auch passen würde. Melde Dich bei Interesse?  |
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Danke für die Unterstützung. Die erste Lösung erscheint passend. Nach Überlegungen am Wochenende bin ich mir jedoch unsicher, ob dieser Ansatz geeignet ist, da diese Aufgabe nur ein Teil einer umfangreicheren kinematischen Berechnung ist. Ich überlege nun, ob der analytische Ansatz hier überhaupt zielführend ist oder ob eine Berechnung in dieser Form Sinn macht. Ich werde mich sicher wieder bei dir melden, falls ich keinen alternativen Weg finde, mein Problem zu lösen Gruss AarZeon |
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