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Zahlenfolgen Klassenarbeit (12.Klasse)

Schüler

Tags: Grenzwert, Koordinatensystem, Monotonieverhalten, Umgebung, Zahlenfolge

anonymous

14:24 Uhr, 25.02.2015

Gegeben ist die Zahlenfolge

(a_{n}

)mit

a_{n} = \frac{3 - 4 n}{n + 1}

a)

Berechnen Sie die ersten 5 Folgenglieder und tragen Sie diese in ein Koordinatensystem ein (Millimeterpapier verwenden).

b)

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Zahl

- 3,8

ein Glied dieser Folge ist.

c)

Geben Sie den vermutlichen Grenzwert

g

von

(a_{n})

an und tragen Sie diesen in das Koordinatensystem ein.
Berechnen Sie, von welchem

n

ab alle weiteren Folgenwerte in der ε-Umgebung mit ε=o,01 liegen.

d)

Stellen Sie eine Vermutung über das Monotonieverhalten auf und beweisen Sie diese rechnerisch.

Ich verstehe diese Aufgabe gar nicht... ich bitte euch, ob ihre erklärt mir genau und wie kann man leichter Verstehen und Begreifen

...

. wäre ich sag Danke sehr....

Weil

- - - (

ich habe mich nicht verstehen...durch ich gerne meine kleine Schwester helfen...damit Jemanden erklären mich genau....damit ich wünsche mich leichter verstehen und kann man ich erkläre meine kleine Schwester machen. Danke für Unterstützung!!)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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Bummerang

15:04 Uhr, 25.02.2015

Hallo,

a)

"die ersten 5 Folgenglieder" da wäre es wichtig zu wissen, ob die Folge mit

n = 0

oder mit

n = 1

oder gar etwas anderem exotischen wie

n = 99

beginnen soll!

Wenn Du das weisst, dann setzt Du einfach ein,

z . B

. ist für

n = 100

der Wert

a_{100} = \frac{3 - 4 \cdot 100}{100 + 1}

zu berechnen.

Tip: nicht mit dem Taschenrechner den Bruch berechnen, sondern nur Zähler und Nenner berechnen und das Ergebnis als Bruch aufschreiben!

Das Zeichnen auf Millimeterpapier ist genauso, wie das von Funktionen, von denen man Wertepaare gegeben hat. Nur darf man dann die Stützpunkte aus den Wertepaaren nicht miteinander verbinden.

b)

Prüfe, ob es ein

n \in ℕ

gibt, welches die Gleichung

- 3,8 = \frac{3 - 4 \cdot n}{n + 1}

erfüllt. Da berechnet man einfach das

n

und das ist am Ende eine Zahl aus

ℕ

oder ein Bruch, dann gibt es eben kein

n \in ℕ

c)

Offensichtlich nähert sich die Folge einem Wert an, den man durch die 5 Punkte schon erahnen kann. Für diesen Wert zeichnest Du eine waagerechte Linie, die die zweite Achse des Koordinatensystems bei diesem Wert schneidet.

Wenn

z . B

. der Wert, gegen den die Folge geht, bei

- 4

liegen würde, dann wären alle Folgeglieder zwischen

- 4,01

und

- 3,99

in einer epsilon-Umgebung des Grenzwertes

- 4

. Wenn die eingezeichneten Folgenglieder alle unterhalb der Linie liegen, löst Du die Ungleichung:

- 4,01 > \frac{3 - 4 \cdot n}{n + 1}

Wenn die eingezeichneten Folgenglieder alle oberhalb der Linie liegen, dann löst Du die Ungleichung:

- 3,99 < \frac{3 - 4 \cdot n}{n + 1}

In beiden Fällen wirst Du ein

n

erhalten, das mit großer Wahrscheinlichkeit keine natürliche Zahl ist. Runde das

n

deshalb auf die nächstgrößere natürliche Zahl auf!

d)

Die 5 eingezeichneten Punkte werden entweder von unten immer näher an die Grenzlinie kommen, dann ist die Folge vermutlich monoton wachsend und Du zeigst einfach, dass

\frac{3 - 4 \cdot (n + 1)}{(n + 1) + 1} - \frac{3 - 4 \cdot n}{n + 1} > 0

oder bei einer Grenzlinie im Positiven

\frac{3 - 4 \cdot (n + 1)}{(n + 1) + 1} : \frac{3 - 4 \cdot n}{n + 1} = \frac{3 - 4 \cdot (n + 1)}{(n + 1) + 1} \cdot \frac{n + 1}{3 - 4 \cdot n} > 1

oder bei einer Grenzlinie im Negativen

\frac{3 - 4 \cdot (n + 1)}{(n + 1) + 1} : \frac{3 - 4 \cdot n}{n + 1} = \frac{3 - 4 \cdot (n + 1)}{(n + 1) + 1} \cdot \frac{n + 1}{3 - 4 \cdot n} < 1

ist. Wenn die 5 eingezeichneten Punkte sich von oben immer mehr der Grenzlinie nähern, dann ist die Folge vermutlich monoton fallend und Du zeigst einfach, dass

\frac{3 - 4 \cdot (n + 1)}{(n + 1) + 1} - \frac{3 - 4 \cdot n}{n + 1} < 0

oder bei einer Grenzlinie im Positiven

\frac{3 - 4 \cdot (n + 1)}{(n + 1) + 1} : \frac{3 - 4 \cdot n}{n + 1} = \frac{3 - 4 \cdot (n + 1)}{(n + 1) + 1} \cdot \frac{n + 1}{3 - 4 \cdot n} < 1

oder bei einer Grenzlinie im Negativen

\frac{3 - 4 \cdot (n + 1)}{(n + 1) + 1} : \frac{3 - 4 \cdot n}{n + 1} = \frac{3 - 4 \cdot (n + 1)}{(n + 1) + 1} \cdot \frac{n + 1}{3 - 4 \cdot n} > 1

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