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Zeigen Sie, dass cos auf C\R keine Nullstellen hat

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Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: cos, Folgen und Reihen, Grenzwert, Nullstell

anonymous188 aktiv_icon

18:59 Uhr, 21.01.2022

Ich soll beweisen, dass

cos

auf

C

ohne

R

keine Nullstellen hat.
Für sin habe ich dies schon bewiesen, jedoch komm ich bei

cos

nicht weiter, obwohl dies der gleiche weg ist.
Mein Ergebnis für

sin :

Angenommen für sin gibt es Nullstellen auf

C

ohne

R :

Dann lässt sich diese Nullstelle durch

z = a + i \cdot b

mit

a \in R

und

b \in R

ohne

{0}

\to

Imagniärteil verschwindet nicht.

z

ist nun nach annähme eine Nullstelle, also gilt:

0 = sin (z) = sin (a + i \cdot b) = i \cdot sinh (- i \cdot a + b)

= \frac{1}{2} \cdot i \cdot (e^{- i \cdot a + b} - e^{i \cdot a - b}

Daraus folgt:

e^{- i \cdot a + b} = e^{i \cdot a - b}

⇔

e^{2 b} =

e^(2ai)
Daraus folgt:

b = (a + π \cdot k) \cdot i, k \in Z

Dann wäre

b \in C

ohne

R,

dies ist ein Widerspruch. Somit gibt es keine Nullstellen.

Wie macht man dies aber dann mit cos? Ich verstehe das noch nicht gut.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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