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Zusammenhang Kegel-Winkel
Universität / Fachhochschule
Körper
Tags: Algebra, Kegel, Körper, Volumen, Winkel
 
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So hier die Aufgabenstellung: Man hat einen Kreis gegeben (Fläche Fläche Dann schneidet man einen Kreisausschnitt (Fläche ,mit der Länge des Radius (also schneidet man bis zum Mittelpunkt). So nun faltet man die Fläche A so zusammen, dass ein Kegel entsteht! Die Aufgabe ist: "Wie groß muss der Winkel (Alpha) sein, damit der Kegel (aus Fläche A gefaltet), einen möglichst großen Volumeninhalt hat (also das Maximum!!). Bitte um Rat! Brauche die Formeln, und den Lösungsweg, und bitte eine Erklärung, da ich es am Donnerstag präsentieren muss! unten ist ein Bild angehängt! Danke euch im Vorraus!  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kegel (Mathematischer Grundbegriff) Kugel (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Definition von Sinus, Kosinus und Tangens Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder Raummessung Sinus und Kosinus für beliebige Winkel Volumen einer Pyramide Volumen und Oberfläche einer Pyramide Definition von Sinus, Kosinus und Tangens Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder Raummessung Sinus und Kosinus für beliebige Winkel Volumen einer Pyramide |
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Grundsätzlich willst du, dass dein Kegel maximales Volumen bekommt, also dass gilt Dazu müssen der Radius der Grundfläche und die Höhe des Kegels über ausgedrückt werden. Die Fläche A hat Radius . Damit ist der Länge des Bogens, der A umschließt, ohne die Geraden, die zum Mittelpunkt führen , falls im Bogenmass gegeben ist. Der Umfang des Grundkreises des Kegels ist damit auch . So lässt sich der Radius des Grundkreises berechnen, nämlich . Die Höhe des Kegels lässt sich berechnen, indem man den Satz des Pythagoras anwendet, denn die Strecken , und bilden ein rechtwinkeliges Dreieck mit der Hypotenuse . Daher ist Damit kannst du in deine Ausgangsgleichung einsetzen: Von dieser Funktion miusst du nun das Maximum in Abhängigkeit von finden. Dabei ist es zweckmäßig, alle Konstanten Faktoren vor dem Ableiten wegzulassen, da diese keinen Einfluss auf das Maximum haben. So erhälst du eine neue Funktion Es muss gelten: , also Das hat zur Lösung: wobei natürlich nur die positive Lösung Sinn macht. Wenn du jetzt noch in die Formel rückeinsetzt, erhälst du das maximale Volumen. |
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