extremwertaufgabe

Aus 3 gleichen brettern der breite ${\displaystyle \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{3,0}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist eine Rinne mit trapezförmigem Querschnitt (siehe Skizze) so zu bauen, das die Durchflussmenge ein Maximum wird. Wie groß ist der Winkel ? zu wählen? Gib ? in Grad an. (Lösung: ?=30º)

Ich hätte gerne den Lösungsweg dazu. Habe euch das Lösungsergebnis dazu gelegt damit ihr eure ergebnisse auf Richtigkeit konntrollieren könnt.

Vielen Dank im Vorraus, Dimi123

Hallo,

die Durchflußmenge ist doch dann am größten, wenn der Querschnitt der Rinne am größten ist. Die Höhe der Rinne ist: ${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ und die obere Seite des dreieckigen Teils, ich nenne sie jetzt mal ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, ist: ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$. Die Gesamtfläche ${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist dann gleich der Fläche des Rechtecks mit der Grundlinie ${\displaystyle \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und der Höhe ${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ plus 2 mal die Fläche des Dreiecks, also:

${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot (\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot (\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right))={\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\cdot (\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right))}$

Ableitung nach ${\displaystyle \mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ bilden:

${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }={\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\cdot (-\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+{\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)-{\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right))={\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\cdot (-\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+1-{\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)-{\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right))=}$ ${\displaystyle ={\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\cdot (1-\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)-2\cdot {\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right))}$

Aus ${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }=0}$ folgt:

${\displaystyle 2\cdot {\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)-1=0\Rightarrow {\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+\frac{1}{2}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)-\frac{1}{2}=0}$

Ich setze ${\displaystyle \mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$:

${\displaystyle {\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\frac{1}{2}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\frac{1}{2}=0\Rightarrow {\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=\frac{1}{2}\cdot (-1-\sqrt{3})\wedge {\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=\frac{1}{2}\cdot (-1+\sqrt{3})}$

Die erste Lösung ist aber vom Betrag her größer als 1, so daß sie nicht der Sinuswert eines Winkels sein kann. Es bleibt nur noch die 2.Lösung:

${\displaystyle \mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{arcsin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\frac{1}{2}\cdot (-1+\sqrt{3}))\approx {21,47}^{\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Das das tatsächlich ein Maximum ist, sollte man noch über die zweite Ableitung überprüfen.

Viele Grüße Yokozuna

Hallo,

benutze die Beziehung ${\displaystyle {\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+{\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=1\Rightarrow {\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=1-{\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$. Ersetze damit das ${\displaystyle {\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ in Deiner Gleichung, dann kommt dort nur noch ${\displaystyle \mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ und ${\displaystyle {\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ vor.

Du hattest oben mal gefragt, warum der Querschnitt mit zunehmenden Winkel ${\displaystyle \mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ nicht immer größer wird. Stell Dir einen Winkel ${\displaystyle \mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}={90}^{\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$vor. Dann liegen die drei Bretter flach nebeneinander und die Querschnittsfläche ist dann gleich Null. Bei ${\displaystyle \mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}={80}^{\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ist die Rinne sehr flach und der Querschnitt ist immer noch nicht sehr groß. Bei ${\displaystyle \mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}={30}^{\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ist er halt wirklich am größten (der Wert, den ich oben angegeben hatte, ist falsch; mir ist beim Auflösen der quadratischen Gleichung ein Flüchtigkeitsfehler unterlaufen, sorry). Du kannst Dir auch einfach selber mal für ein paar Winkel die Fläche ausrechnen, um zu sehen, wie sich die Querschnittsfläche verändert.

Gruß Yokozuna