Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » f(x,y)= e hoch 2x+y Wie berechne ich das Integral

f(x,y)= e hoch 2x+y Wie berechne ich das Integral

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integral

MaikeFau aktiv_icon

20:00 Uhr, 02.06.2008

f (x, y) = e

hoch

2 x + y

Wie berechne ich das Integral zu dieser Funktion? Hab schon überall gesucht und verstehe diese allgemeinen Erklärungen nicht! In meiner Aufgabe muss ich das Integral für den Bereich

D = (0,1) x (0,3)

berechnen.
Wär aber schön, wenn mir jemand ein Beispiel mit der gleichen Funktion aber anderen Werten ausrechnen könnte. Dann kann ich´s danach selber nochmal ausrechnen und mir besser merken wie man´s macht!
Hoffe mir kann jemand weiterhelfen! Danke im Vorraus!
lg maike

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

hagman aktiv_icon

20:03 Uhr, 02.06.2008

Ist

f (x, y) = e^{2 x + y}

gemeint oder

f (x, y) = e^{2 x} + y

?
In beiden Fälle lassen sich die Variablen leicht separieren, im ersten wegen

e^{2 x + y} = e^{2 x} \cdot e^{y}

MaikeFau aktiv_icon

20:25 Uhr, 02.06.2008

Is das nicht das gleiche? Ich versteh ledier gar nicht wie man überhaupt irgendein Integral ausrechnet, scheiß egal für welche Funktion! Brauche einfach nur ne komplette Beispielrechnung, aber ich hab im Internet nur diese theoretischen Erklärungen gefunden und meine alten Matheaufzeichnungen aus der Oberstufe ergeben leider keinen Sinn und sind unkomplett, mit f´s übersäht oder durchgestrichen!

butterfly3 aktiv_icon

20:51 Uhr, 02.06.2008

Uääh das ist ja übel... Also zuerst mal: Es ist ein Riesenunterschied, ob du

e^{2 x} + y

oder

e^{2 x + y}

hast! (Ich geh mal davon aus, dass es das letztere ist...)

Noch mal ein Rückblick aufs Integrale berechnen: Man berechnet das Integral einer Funktion, indem man eine Stammfunktion der Funktion bildet und die beiden Integralgrenzen nacheinander einsetzt. Man erhält dadurch zwei Zahlenwerte; den einen zieht man vom anderen ab.

Aufgeschrieben sieht das dann so aus:

\int_{0}^{1} (x^{2} - 3 x + 1) d x = {[\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + x]}_{0}^{1} = (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{3}{2} \cdot 1^{2} + 1) - 0 = - 1 \frac{1}{6}

.

So ist das zumindest bei Funktionen

f : ℝ \to ℝ

. Bei Funktionen mit zwei Variablen integrierst du zuerst nach einer Variablen in den entsprechenden Grenzen und lässt die andere fest; dann integrierst du nach der anderen. Kleine Erinnerung: Die Stammfunktion von

e^{x}

ist

e^{x};

die Stammfunktion von

e^{5 x}

ist

\frac{1}{5} e^{5 x}

.

So, ich hoffe, das hilft dir einigermaßen weiter...

Grüße, Sarah

MaikeFau aktiv_icon

21:22 Uhr, 02.06.2008

Ne, hilft mir leider nich weiter. Aber ich glaub ich kann die Funktion auf meinem PC auch nich richtig lesen...
Du hast doch bestimmt

13 x

hoch 3 usw geschrieben oder? Bei mir steht alles nur aneinandergereit da und ein paar Quadrate sind auch dazwischen. Ich geh mal davon aus, dass die nicht da reingehören.

butterfly3 aktiv_icon

21:58 Uhr, 02.06.2008

Oha, dann werde ich das wohl am besten mal in Worten beschreiben:

Meine ursprüngliche Funktion war

x

hoch 2 minus

3 x

plus 1.

Die Stammfunktion ist dann: Ein Drittel

x

hoch 3 minus drei halbe

x

hoch 2 plus

x

.

Die Integrationsgrenzen waren 0 und 1. Wenn man die obere Grenze in die Stammfuntkion einsetzt, kommt minus ein ein sechstel heraus, bei der unteren Grenze 0. Das ganze zieht man voneinander ab, also hat man minus ein ein sechstel minus 0 ist minus ein ein sechstel.

So geht dann das ganze Integrieren:

1)

Stammfunktion der ursprünglichen Funktion bilden

2)

obere Integralgrenze einsetzen

3)

untere Integralgrenze einsetzen

4)

die beiden Werte voneinander abziehen.

Wo hakt es denn besonders bei dir? Liegt es an den zwei Variablen? Da lässt du zuerst die eine konstant und integrierst nur nach der anderen...

Grüße, Sarah

MaikeFau aktiv_icon

08:10 Uhr, 03.06.2008

Leider weiß ich nicht wie man ne Stammfunktion bildet!
Ich glaub bei deinem Beispiel hab ich´s jetzt verstanden, aller dings weiß ich dann trotzdem nicht wie ich vbei meiner Funktion die Stammfunktion bilden muss!
Bei dir war´s doch so in der Art:

z . B .

f = (2

mal

x

hoch

n)

minus

(x

hoch

n - 1)

Stammfunktion=

((\frac{2}{n}

plus eins) mal

x

hoch

n

plus eins)
minus

((\frac{1}{n})

mal

x

hoch

n)

Die Klammern solln das ganze eigentlich übersichtlicher machen. Ich hoffe jemand kann das entziffern.
Wie mach ich das denn jetzt bei

e

hoch

2 x + y

?
Is die Stammfunktion dann

\frac{2}{x} + y + 1

mal

x

hoch

2 x + y + 1

MaikeFau aktiv_icon

08:12 Uhr, 03.06.2008

Na super das steht auch schon wieder anders da als ich´s getippt hab! Ich hoffe das liegt an meinem PC!

butterfly3 aktiv_icon

09:08 Uhr, 03.06.2008

Hallo,

das mit den Klammern kann ich gut entziffern und ist auch richtig! Was

e^{x}

angeht: Die Stammfunktion von

e

hoch

x

ist

e

hoch

x

(weil beim Ableiten ja auch

e

hoch

x

rauskommt und Stammfunktion bilden ist ja das Gegenteil vom Ableiten).

Dementsprechend ist die Stammfunktion von

e

hoch

2 x

dann ein halb mal

e

hoch

2 x!

Was deine Aufgabe angeht: Am besten ziehst du die Funktion erst mal so auseinander, wie hagmann gesagt hat:

f (x) = (e

hoch

2 x)

mal

(e

hoch

y)

. Es ist wichtig, dass du die Stammfunktion erst nur nach einer Variablen bildest, das heißt, du bildest nur die Stammfunktion

e

hoch

2 x

und tust so, als wäre das

y

nur eine Zahl. (Dann ist

e

hoch

y

auch nur eine Zahl und wie man damit umgeht, wenn eine Zahl mit der Funktion malgenommen wird, weißt du ja schon - das ist genauso wie du es aufgeschrieben hast mit der

2

).

Die Funktion integrierst du dann von 0 bis 1. Als Ergebnis hast du eine Zahl (es ist ein halb mal

e

hoch 2 minus ein halb) mal

e

hoch

y

. Und das wird dann wieder integriert von 0 bis 3. Endergebnis ist dann: ein halb mal

(e

hoch 5 minus

e

hoch 3 minus

e

hoch 2 plus

1

).

Also dann,
schöne Grüße, Sarah

Dravo5 aktiv_icon

09:18 Uhr, 03.06.2008

Mal unabhängig vom Thema, wenn du den Mathepalyer runterlädtst, dann siehst du einiges besser, denn hier werden

z . B

. Brüche angezeigt

http//www.dessci.com/en/products/mathplayer/download.htm

Dravo5 aktiv_icon

09:30 Uhr, 03.06.2008

Dann versuch ich dir mal zu helfen

Ich hoffe, du kannst ableiten, denn das ist ja schließlich genau die Umkehrung
Fangen wir mal damit an und intigrieren

x^{2}

Was amchen wir beim Ableiten? Wir multipliplizieren mit dem Exponenten und senken den danach, also machen wirs beim Intigrieren umgekehrt:

Wir erhöhen den Exponenten und teilen danach durchden Entstandenen also entsteht

\frac{1}{3} x^{3}

Das kann man auch machen, wenn

x

im Exponenten steht:

\frac{1}{x^{3}} = x^{- 3}

und intigriert ergibt das

- \frac{1}{2} \cdot x^{- 2}

Diese Regel lautet also allgemein:

f (x) = x^{n}

F (x) = \frac{1}{n + 1} \cdot x^{n + 1} + C

(lass dich von dem

+ C

nicht ablenken, dass musst du je nach Aufgabenstelluhng hinschreiben, oder nicht)

Eine Ausnahme ist

\frac{1}{x}

Da ist das Integral

ln | x |

Das Nächste, was wir intigirieren, ist

e^{x},

das ist einfach, daraus wird wieder

e^{x}

So, das waren die wichtigsten Integrale, bloß so kommen diese natürlich selten vor
Hier gibts, wie beim Ableiten, ganz normal die Summen- und die Faktorregel
Aber es gibt keine direkte Produktregel und keine Kettenregel
Es gibt mehr oder weniger Abkömmlinge, die für konkrete Fälle nutzbar sind

1 .)

lineare Substitutionsregel

\to

eine Umkehrung der Kettenregel
Diese wendest du dann an, wenn du eine verkettete Funktion hast und innen eine lineare Funktion steht, wie

z . B

f (x) = {(2 x + 1)}^{50}

(hier wäre ausmultiplizieren sinnlos und unmöglich lang^^)

Hier intigirerst dudie äußere Funktion und teilst durch den Koeffizienten der Inneren

F (x) = \frac{1}{102} \cdot {(2 x + 1)}^{51} + C

2 .)

Die logarythmische Integartion

Hierbeil gilt die Vorraussetzung, dass ein Bruch gegeben ist wo im Zähler die Ableitung vom Nenner steht

(f (x) = \frac{g' (x)}{g (x)})

Hier ist das Integral der natürliche Logarythmus der Funktion im Nenner in Betragsstrichen

F (x) = ln | g (x) |

Bsp.:

f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 4} ((x^{2} + 4)' = 2 x,

also kann man die Regel anwenden

F (x) = ln | x^{2} + 4 | + C

f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 4}

(Hier ist das nicht erfüllt, aber man kann es so umformen, dass es passt

f (x) = 2 \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 4}

F (x) = 2 \cdot ln | x^{2} + 4 | + C

So, ich hoffe, das reicht erst mal, ich will dich damit ja nicht erschlagen^^

lg Dravo5

MaikeFau aktiv_icon

12:55 Uhr, 04.06.2008

Danke! Das mit dem Integrieren und Ableiten hab ich jetzt geschnallt!

516607

516228

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?