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gemeinsame Punkte einer Kurvenschar

Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Kurvenschar, Schnittpunkt

bebetka aktiv_icon

18:13 Uhr, 28.09.2011

Hallo!

Ich habe ein folgendes Problem:

Ich soll die gemeinsame Punkte einer Kurvenschar finden und zwar für folgende Funktion:

f (x) = - x^{3} -

2tx

+ (1 - 4 t) x

t

ist in dem Fall unser Parameter.

Nach dem was ich verstanden habe, muss ich eine beliebige Zahl für

t

einsetzten und nach

x

auflösen. Wenn ich jetzt für

t = 1

einsetzte sieht es folgendermaßen aus:

- x^{3} - 2 x + (1 - 4) x = - x^{3} -

2tx

+ (1 - 4 t) x

- 2 x + (1 - 4) x =

-2tx

+ (1 - 4 t) x

- 2 x = -

2tx

x =

tx

Da aber in dem Fall ein

t

übrig bleibt, heißt das, dass ich irgendetwas falsch gemacht habe ich weiß bloß nicht was. Bitte um Hilfe !
Natalia

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

prodomo aktiv_icon

18:18 Uhr, 28.09.2011

Deine Gleichung sieht seltsam aus, weil zweimal ein Term mit

x,

aber keiner mit

x^{2}

dabei ist.Heißt der zweite Term vielleicht

t \cdot x^{2}

bebetka aktiv_icon

18:31 Uhr, 28.09.2011

guter Anfang, wenn man die Gleichung sofort falsch abschreibt

- . -

Danke schön! Leider bring mich das nicht weiter, denn sogar bei 2tx^2 sieht das bei mir , weil ich auch bei der Terme nicht zu dem richtigen Ergebnis komme, ich habe da am Ende irgendwie

x^{2} = t x^{2}

stehen

- . -

bebetka aktiv_icon

18:37 Uhr, 29.09.2011

Kamm mir jemand vielleicht weiter helfen ?

Atlantik aktiv_icon

19:20 Uhr, 29.09.2011

Hallo bebetka,

du

f (x) = - x^{3} - 2 \cdot t \cdot x^{2} + (1 - 4 t) \cdot x

Wenn du nun

x

ausklammerst, hast du

f (x) = x \cdot (- x^{2} - 2 \cdot t \cdot x + 1 - 4 t)

x \cdot (- x^{2} - 2 \cdot t \cdot x + 1 - 4 t) = 0

ergibt bei

x = 0

einen Punkt durch den alle Graphen bei beliebigem

t

durchgehen.

Alles Gute

Atlantik

Shipwater aktiv_icon

19:28 Uhr, 29.09.2011

Normalerweise benutzt man folgenden Ansatz:

- x^{3} - 2 t_{1} x^{2} + (1 - 4 t_{1}) x = - x^{3} - 2 t_{2} x^{2} + (1 - 4 t_{2}) x; t_{1} \neq t_{2}

\Leftrightarrow - 2 t_{1} x^{2} + x - 4 t_{1} x = - 2 t_{2} x^{2} + x - 4 t_{2} x

\Leftrightarrow 2 t_{1} x^{2} + 4 t_{1} x = 2 t_{2} x^{2} + 4 t_{2} x

\Leftrightarrow 2 t_{1} x^{2} - 2 t_{2} x^{2} + 4 t_{1} x - 4 t_{2} x = 0

\Leftrightarrow 2 x^{2} (t_{1} - t_{2}) + 4 x (t_{1} - t_{2}) = 0

\Leftrightarrow (t_{1} - t_{2}) (2 x^{2} + 4 x) = 0

\Leftrightarrow (t_{1} - t_{2}) \cdot 2 x \cdot (x + 2) = 0

\Leftrightarrow x \cdot (x + 2) = 0

(wegen der Ausgangsbedingung

t_{1} \neq t_{2}

darf durch

t_{1} - t_{2}

dividiert werden)
Lösungen gibt es also bei

x_{1} = 0

und

x_{2} = - 2

.
Damit sind

P (0 | 0)

und

Q (- 2 | 6)

die gemeinsamen Punkte aller Kurven der Schar.

bebetka aktiv_icon

20:13 Uhr, 29.09.2011

Danke sehr!

Shipwater aktiv_icon

20:22 Uhr, 29.09.2011

Gern geschehen.

bebetka aktiv_icon

22:01 Uhr, 29.09.2011

Ich glaube, ich habe mich doch zu früh gefreut oder ich bin einfach übermüdet und versteht gar nicht mehr :-D) Aber ich frage trotzdem noch mal nach und zwar ich verstehe alles bis auf die letzte Gleichung

: x \cdot (x + 2) = 0

. wie kommt man darauf ? Und woher weiß ich dass, es 2 Punkte sind und die

x -

Koord. bei 0 und

- 2

liegen ?
Ich bin gerade ein bisschen am verzweifeln.

Shipwater aktiv_icon

14:11 Uhr, 30.09.2011

Stichwort: Satz vom Nullprodukt (Ein Produkt ist dann null, wenn einer der Faktoren null ist)

bebetka aktiv_icon

19:24 Uhr, 01.10.2011

verstanden :-)

Shipwater aktiv_icon

19:30 Uhr, 01.10.2011

Super, viel Erfolg weiterhin.

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