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herleitung der substitutionsregel (integrale)

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Integral, Substitution, Substitutionsregel, Substitutionsverfahren

isch1 aktiv_icon

16:30 Uhr, 13.05.2009

guten Abend,
ich hab mich an der Herleitung der Substitutionsregel für Integrale versucht und das ist bei rausgekommen:
(am Anfang kam ein falsches Ergebnis raus, doch ich denke, das müsste richtig sein, wär nett, wenn mir das noch einer bestätigen könnte, dass ich auch bei der Herleitung nicht geschlampt hab)

f ʹ (g (x)) * g ʹ (x) = f ʹ (g (x))

einmal integrieren:

\int f ʹ (g (x)) * g ʹ (x) d x = f (g (x)) d x

dann ersetzten z=g(x)

\int f ʹ (z) * z ʹ d z = f (g (x))

nun sollte z' nur eine zahl sein, die von das Integral geschrieben werden kann:

z ʹ * \int f ʹ (z) d z = f (g (x)) = z ʹ * f (z)

jetzt integrieren:

\int f (z) * z ʹ d z = \int f (g (x)) d x

?!

danke
isch

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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anonymous

21:27 Uhr, 13.05.2009

ist schon richtig..vielleicht hätte ich ein paar klammern anders gesetzt, aber ich denke mal du meinst das richtige.

und ja, wichtig bei der substitution ist: wenn die substituierte funktion keine lineare ist, muss die ableitung der inneren funktion bzw ein vielfaches dieser, als faktor davor stehen.

ich hätte mir die herleitung allerdings anders aufgeschrieben.

gegeben:

f (x) = f (g (x))

f' (x) = (f (g (x)))'

\int f' (x) d x = \int (f (g (x)))' d x \Leftrightarrow f (x) = f (g (x))

(f (g (x)))' = f' (g (x)) \cdot g' (x)

\int (f (g (x)))' d x = \int f' (g (x)) \cdot g' (x) d x

substituieren:

g (x) = a (x) \to g' (x) = a' (x) \to g' (x) =

(da)//(dx)

\to

dx=da//g'(x)

einsetzen gibt nun:

\int f' (a) \cdot g' (x) \cdot \frac{1}{g' (x)}

= \int f' (a)

= f (a) = f (g (x))

sieht zwar alles seltsam aus, aber hier ein beispiel:

f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 2}

gesucht:

\int f (x) d x = \int \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x

substituieren:

x^{2} + 2 x = a (x)

a' (x) = 2 x

da/dx=2x
dx=da/2x

einsetzen

\int \frac{4 x}{a} \cdot \frac{1}{2 x}

= 2 \int \frac{1}{a}

= 2 ln (a)

= 2 ln (x^{2} + 2)

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