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integral mit satz von stokes berechnen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integral

bluesbrother aktiv_icon

15:24 Uhr, 05.03.2009

hallo ihr!

ich hab folgendes problem:

ich hab die halbspäre gegeben:

S := {x = (x 1, x 2, x 3)

element

R^{3} : | x | = 2, x 1 < 0

}

mit vom ursprung wegzeigender normale und das vektorfeld:

F (x) = {(x 1 \cdot x 2, x 2^{2} \cdot x 3, - x 2^{2})}^{T}

ich soll jetzt das integral

\int \int

rot

F (x) \cdot

do berechnen............mit dem satz von stokes.

am anfang steht da in nem bisschen lösung, das die randkurve

C

parametrisiert werden muss:

C : c (t) = {(0, 2 \cdot sin (t), 2 \cdot cos (t))}^{T} t

element

[

0,2*pi]

wie parametrisiert man diese randkuve genau? oder wie funktioniert das? kann mir da jemand weiterhelfen? und wie berechne ich dann das integral?

danke euch schonmal :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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JensW aktiv_icon

16:18 Uhr, 05.03.2009

"wie parametrisiert man diese randkuve genau? '

Die Parametriesierung steht da

c(t)=(0, 2 sin(t) , 2 cos(t))

Integralsatrz von stokes
Das Flaechen integral der rotation von F ist gleich dem Linien integral von F uebr den rand der Flaeche

\int_{0}^{2 π} F (c (t)) c ` (t) d t

= \int_{0}^{2 π} (0, 8 s i n^{2} (t) c o s (t), - 4 s i n^{2} (t)) (0, 2 c o s (t), 2 - s i n (t)) d t

= i n t_{0}^{2 π} 16 s i n^{2} (t) c o s^{2} (t) - 8 s i n^{3} (t) d t

= i n t_{0}^{2 π} 8 s i n^{2} (2 t) - 8 s i n (t) (1 - c o s (t)) d t

$

Fuer den Ersten therm

s i n^{2} (2 t) = 1 / 2 (1 - c o s (4 t))

Substitution fuer den 2ten Therm
cos t=x
-sin t dt=dx

Danach ist es nur noch das integriern von polynomen das solltest du selbst koennen...

bluesbrother aktiv_icon

16:56 Uhr, 05.03.2009

ja die parametriesierung steht schon da........aber das ist ja schon ein teil der lösung. das hab ich aus der lösung abgeschrieben, ich versteh aber nicht wie man da drauf kommt????

JensW aktiv_icon

17:18 Uhr, 05.03.2009

Ich versteh aber nicht wie man da drauf kommt?

Die Flaeche ist eine Halbkugel also ist die Randkurve ein Kreis

Und einen Kreis parametriesiert man eben mit sin und cos

Du hast doch sicher schon mal polarkoordinaten geshen oder?

bluesbrother aktiv_icon

18:09 Uhr, 05.03.2009

ja polarkoordinaten hab ich schonmal gesehn.......wieso aber zb die

x 1

koordinate= 0 kommt und dann auf die

x 2 = 2 \cdot sin (t)

hab ich keine ahnung.........hat das was mit

| | x | | = 2

zu tun? kannst du mir die rechenschritte mal zeigen?

JensW aktiv_icon

18:24 Uhr, 05.03.2009

x1<0

sagt einem dass die Randkurve bei x1=0 liegen muss

|x|=2 sagt einem das es ein kreis mit radius 2 sein muss.

Und eine Parametriesierung eines kreises ist nun mal die eine Koordinate
sin und die andere cos

es reicht eine Parametrieierung zu finden bei jeder parametrisierung kommt bis auf Vorzeichenwechsel das gleiche raus. Man braucht also keine besondere irgendeine reicht

das Vorzeichen haengt dabei nur davon ab wierum man den Kreis durchlaeuft.

bluesbrother aktiv_icon

18:26 Uhr, 05.03.2009

ah ok, jetzt steig ich schon mehr durch........vielen dank :-)

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