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komplexe Wurzel berechnen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Exponentialfunktion, komplexe Wurzel, Komplexe Zahlen, Wurzelberechnung

lausa11 aktiv_icon

16:45 Uhr, 05.07.2015

Hallo zusammen,

ich möchte die 3. Wurzel aus

- 125 i

berechnen und diese in der Exponentialform angeben.
Die allgemeine Formel zum Wurzelziehen von komplexen Zahlen ist mir bekannt, doch leider hab ich Probleme damit, diese anzuwenden

: \frac{-}{}

Könnte mir daher jemand einen ausführlichen Lösungsweg beschreiben?
Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

16:54 Uhr, 05.07.2015

z^{3} = 125 \cdot (- i)

z^{3} = 125 \cdot e^{(\frac{3}{2} π + 2 k π) \cdot i} .

k = 0; 1; 2 . .

z_{k} = 5 \cdot [

cos(90°

+ k \cdot

120°)

+ i \cdot

sin(90°

+ k \cdot

120°)

] .

. für

k = 0,1,2 .

.

denk darüber nach

.

lausa11 aktiv_icon

17:14 Uhr, 05.07.2015

Vielen Dank bis dahin!
Soweit alles verstanden, bis auf das

Φ

im Exponent. Wie komme ich darauf?

rundblick aktiv_icon

17:43 Uhr, 05.07.2015

.
" bis auf das Φ im Exponent. Wie komme ich darauf?"

\to

schau doch einfach mal in der Gaussebene nach:

\to

WO LIEGT DER PUNKT

\to (- i) = (0; - 1)

in der Ebene herum?

\to

du wirst den Winkel 270° sehen und alle Wiederholungen 270°

+ k \cdot

360°

noch nie selbst auf diese Idee gekommen ?

ok?

lausa11 aktiv_icon

17:56 Uhr, 05.07.2015

(- i) = (0; - 1)

ist der Winkel 270° und das entspricht in rad 3pi/2
Richtig?
Das verstehe ich. Nur kapier ich leider vorher nicht, wieso wir den 270° Winkel nehmen? Weil die Aufgabe

125 \cdot (- i)

ist? Also das

- i

ist ausschlaggebend dafür, dass wir den 270° Winkel benutzen?

rundblick aktiv_icon

19:00 Uhr, 05.07.2015

,

Beträge sind immer POSITIVE reelle Zahlen

also kann die Zahl

(\to

minus

125)

nicht der Betrag sein

\Rightarrow

ein solches Minuszeichen gehört also IMMER (als ein Teil)
zum Argument der komplexen Zahl in Polarform

und im Beispiel legt damit dann das

(\to

mimus

i)

den
Winkel fest UND

\to (- i)

LIEGT AUF DER NEGATIVEN Y-ACHSE

\to

zu solchen Punkten gehört der Winkel 270° .. oder eben

\frac{3}{2} π

geht das irgendwann rein?

.

lausa11 aktiv_icon

18:41 Uhr, 06.07.2015

Ja das geht irgendwie rein.
Nun habe ich

z 0, z 1

und

z 2

ausgerechnet, nur irgendwie kommen bei

z 2

komische Werte raus.

z 2

wäre doch dann:

5 \cdot (cos (\frac{π}{2} + 2 \cdot \frac{π}{3} \cdot 1) + i \cdot sin (\frac{π}{2} + 2 \cdot \frac{π}{3} \cdot 1)

oder?
und das Ergebnis somit:

5 \cdot (-

Wurzel3

/ 2) + 5 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot i

ledum aktiv_icon

19:22 Uhr, 06.07.2015

Hallo
was daran ist komisch? zeichne deine 3 loesungen doch mal ein.
Gruss ledum

lausa11 aktiv_icon

19:27 Uhr, 06.07.2015

Komisch in dem Sinne, da ich das doch nicht im Kopf ausrechnen kann, oder?
Dürfen keinen TR benutzen..

pleindespoir aktiv_icon

19:31 Uhr, 06.07.2015

Man braucht dazu auch wirklich keinen TR und ohne Ahnung was man da eigentlich tut würde der auch nicht wirklich helfen.

rundblick aktiv_icon

19:33 Uhr, 06.07.2015

.
na ja - ich hatte dir doch ganz zu Beginn schon eine
friedliche Form der Lösungen notiert:

(die hier dann benötigten Werte für die Winkelfunktionen
hat jedes grössere Kind ohne TR im Kopf )

zk=5⋅

[

cos(90° +k⋅ 120°) +i⋅ sin(90° +k⋅ 120°) ]. . für

k = 0,1,2

. .

setze jetzt

\to k = 0,1,2

ein und vergleiche mit deiner Lösung ..

z_{0} = 5 \cdot

cis(90°)

z_{1} = 5 \cdot

cis(210°)

z_{2} = 5 \cdot

cis(330°)

nebenbei:
wie üblich sind die drei Lösungspunkte Eckpunkte eines gleichseitigen
Dreiecks mit dem Umkreis

| z | = 5

..erster Eckpunkt

\to (0; 5)

usw..

ok?
.

steveQ aktiv_icon

20:58 Uhr, 06.07.2015

Die dritten Wurzeln von - i = exp i ∙

27 0^{o}

= exp i (

27 0^{o}

36 0^{o}

) = exp i (

27 0^{o}

72 0^{o}

) (wobei exp x = eˣ bedeutet ) sind exp i ∙

9 0^{o}

und exp i (

9 0^{o}

12 0^{o}

) und exp i (

9 0^{o}

24 0^{o}

)

rundblick aktiv_icon

21:11 Uhr, 06.07.2015

.

@ steveQ

\to

na -Herr Lehrer - kannst wohl nicht lesen ?

\to

die Lösungen stehen doch längst schon weiter oben und
dort eh noch viel schöner als in deinem "Bei-trag"

also - was soll's?

.

steveQ aktiv_icon

14:55 Uhr, 07.07.2015

Über Schönheit lässt sich trefflich streiten. Und bisher hat lausa noch nicht Zufriedenheit signalisiert. Vielleicht gefällt ihr ja meine Lösung.

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