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limes berechnung mit wurzel

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

davetk2 aktiv_icon

19:52 Uhr, 09.08.2012

Moin moin,

wollte fragen, wie ich denn folgende Grenzwertbetrachtung hinbekomme:

lim(x->0) ( (sqrt(1+x) -1) / x )

also ich würde gerne den bruch erweitern, aber da haperts bei mir.
mein erster lösngsansatz wäre:

sqrt(x) / x
=
1 / sqrt(x)

(habe ich durch erweitern hinbekommen)

Aber den ausdruck oben bekomme ich leider nicht vereinfacht.
hat da jemand eine idee?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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rundblick aktiv_icon

19:59 Uhr, 09.08.2012

lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}) =

?

erweitere deinen Bruch mit

(\sqrt{1 + x} + 1)

und denke an die dritte Binomformel..

ok?

davetk2 aktiv_icon

21:09 Uhr, 09.08.2012

Ahhhh!
Ja habe vergessen bei dem Erweitern das - in ein + zu wandeln.
Sehe ich doch richtig so?

Weil dann kommt be mir nun im endergebnis

1 / ( sqrt(1+x) +1) heraus :-)

rundblick aktiv_icon

21:27 Uhr, 09.08.2012

na ja - aber das ist doch noch nicht das "Endergebnis"
(du sollst doch einen Grenzwert berechnen?)

also:

lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}) = lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1}) =

\to . .

Shipwater aktiv_icon

23:16 Uhr, 09.08.2012

Hier ein weiterer Vorschlag: Mit

f (x) := \sqrt{1 + x}

gilt

f' (0) = lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}

Wenn die benötigten Ableitungsregeln schon bekannt sind kannst du also mit diesen

f' (x)

berechnen und damit dann schließlich auch

f' (0)

was (laut Definition) deinem gesuchten Grenzwert entspricht.

davetk2 aktiv_icon

11:03 Uhr, 10.08.2012

also als ergebnis habe ich nun

1/2
Wenn ich das ganze nun gegen null laufen lasse :-)

eine Ableitung wollte ich nicht gerade verwnden, da der satz von hospital nicht für die prüfung zulässig ist, aber danke :-)

Shipwater aktiv_icon

11:30 Uhr, 10.08.2012

\frac{1}{2}

ist richtig. Ich meinte allerdings nicht L'Hospital sondern

f (x) = \sqrt{1 + x} \Rightarrow f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{1 + x}}

also

f' (0) = \frac{1}{2}

. Und laut Definition der Ableitung ist

f' (0)

genau dein gesuchter Grenzwert.

davetk2 aktiv_icon

16:13 Uhr, 10.08.2012

Okay, dass musst du mir einmal erklären.
Wie kannst du nur mit dem

sqrt(1+x)

herausfinden, welcher Grenzwert vorhanden ist, ohne den kommpletten Ausdruck ab zu leiten???

Shipwater aktiv_icon

16:15 Uhr, 10.08.2012

Laut Definition der Ableitung gilt doch

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

Mit

f (x) = \sqrt{1 + x}

und

x_{0} = 0

ergibt sich also

f' (0) = lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 + 0}}{x - 0} = lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}

davetk2 aktiv_icon

16:55 Uhr, 10.08.2012

Ja darauf muss man erstmal kommen!
Man kann ja nur durch Erfahrung sehen, dass man sehen kann, dass man einfach nur die wurzel nehmen kann.

Nur mal nebenbei:
Wie würde das aussehen, wenn ich folgende funktion habe (nur das ich mal nen feeling dafür bekomme):

lim(x->1) (x² -1) / (x² + 1)

?

CKims aktiv_icon

17:39 Uhr, 10.08.2012

dann kannst du einfach

x = 1

einsetzen

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