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rekursiv definierte Folge, Monoton, beschränkt

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Beschränkt, Grenzwert, Monotonie, rekursiv definierte Folge

itchy aktiv_icon

19:06 Uhr, 07.12.2007

Hi,

ich habe folgende aufgabe und keine ahnung wie ich das machen soll, bzw ich komm auf keinen grünen zweig.

Gegen sei die Folge a_n mit a_1 = 1 und a_(n+1) = Wurzel(12+a_n)

a) zeigen sie monotonie und beschränktheit

b) bestimmen sie den Grenzwert

PS: ka warum Latex nicht ging, sonst gäbe es schönere Formeln:-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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JimJimmy

23:58 Uhr, 07.12.2007

a) Da

a_{n} + 12 > a_{n}

und die Wurzel streng monoton ist, ist die Folge ebenfalls streng monoton.
Wenn man einige Werte einsetzt, sieht es so aus, als ob der Grenzwert 4 wäre. Also vollst. Ind., um zu zeigen, dass

a_{n} \leq 4

a_{1}

stimmt.

a_{n + 1} = \sqrt{12 + a_{n}} \leq \sqrt{16} = 4

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12:33 Uhr, 08.12.2007

also: wie zeige ich das die wurzel streng monoton ist, bzw ich muss das irgendwie herleiten

zum induktionsbeweis:
ich zeige also
Induktionsbegin

a_{1} = 1 < 4

Induktion:

a_{n + 1} = \sqrt{12 + a_{n}}

es gilt

a_{n} < = 4

setze ich ein also ist

\sqrt{12 + a_{n}} < = \sqrt{16} < = 4

kann ich das so machen?

m-at-he

14:06 Uhr, 08.12.2007

Hallo,

was JimJimmy mit

Da a_n + 12 > a_n und die Wurzel streng monoton ist, ist die Folge ebenfalls streng monoton.

beweist ist, daß a_(n+1) = sqrt(12 + a_n) > sqrt(a_n) ist, aber das ist ja nicht gefordert. Gefordert ist zu zeigen, daß

a_(n+1) > a_n

Für die Monotonie braucht man die Beschränktheit zuerst.

Behauptung: Für alle n ele N gilt: 4 > a_n >= 1

Ind-anf: n = 1

a_1 = 1 und es gilt: 4 > 1 >= 1

Ind-vor: Es gibt ein n ele N, für das gilt: 4 > a_n >= 1

Ind-beh: Dann gilt auch für n+1: 4 > a_(n+1) >= 1

Bew.d.Ind-beh:

4 > a_n >= 1 | +12

12 + 4 > 12 + a_n >= 12 + 1

16 > 12 + a_n >= 13

sqrt(16) > sqrt(12 + a_n) >= sqrt(13)

4 > a_(n+1) >= 3,6055512754639892931192212674705 > 1

Jetzt kann man damit die Monotonie beweisen:

4 > a_n >= 1 | -1/2

7/2 > a_n - 1/2 >= 1/2 ; alle Seiten sind positiv, d.h. bei Quadrieren ändern sich die Relationszeichen nicht

(7/2)^2 > (a_n - 1/2)^2 >= (1/2)^2

49/4 > a_n^2 - 2*a_n*1/2 + 1/4 >= 1/4 | -49/4

0 > a_n^2 - a_n - 48/4 >= -48/4

0 > a_n^2 - a_n - 12 >= -12 | +12 + a_n

a_n + 12 > a_n^2 >= a_n ; a_n >= 1

a_n + 12 > a_n^2 >= 1 ; a_n + 12 und a_n sind also positiv, wir können ohne Beträge die Wurzel ziehen

sqrt(a_n + 12) > a_n >= 1; a_n ist ja positiv

a_(n+1) > a_n >= 1

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14:13 Uhr, 09.12.2007

gut, kann ich nachvollziehn, nur wie kommt man auf sowas wie bei der monotonie?!

und den grenzwert bestimm ich jetzt wie foglt oder:

lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = lim_{n \to \infty} \sqrt{12 + a_{n}} = 4

a_{n}

gegen 4 und damit die Wurzel gegen 16 strebt.

m-at-he

23:43 Uhr, 09.12.2007

Hallo,

"nur wie kommt man auf sowas wie bei der monotonie?!"

Nachdem man sich spaßeshalber mal ein paar Werte ausgerechnet hat, sieht man eigentlich schon nach wenigen Werten, wohin die Reise geht: Streng monoton wachsend mit Grenzwert 4.

Also fängt man an zu rechnen:

a_(n+1) > a_n

a_(n+1) > sqrt(12 + a_n)

...

Am Ende steht dann da: 4 > a_n

Aber 2 Dinge machen diese Schritte eben nicht zu einem Beweis:

1. Ein Beweis geht von einer wahren Aussage aus (direkter Beweis) und am Ende steht die Behauptung da. Oder man geht vom Gegenteil der behauptung aus und zeigt, daß diese nicht stimmen kann, indem man irgendwann auf einen Widerspruch kommt (indirekter Beweis). Beide Wege treffen nicht zu, also kein Beweis!

2. Am Ende steht etwas, was bisher noch gar nicht erwähnt war.

Hier bin ich von einer Hypothese ausgegangen und am Ende stand da etwas, was ich überhaupt noch nicht bewiesen hatte, aber als Beweis selbst auch zu zeigen war: Die Beschränktheit. Also muß man zunächst die beschränktheit beweisen, dann könnte man alle schritte umkehren und man hätte den Monotoniebeweis. Das Umkehren der Schritte geht bei äquivalenten Umformungen immer, bei nichtäquivalenten manchmal, d.h. unter bestimmten Umständen. Wenn man sich die Schritte ansieht, dann sieht man schnell, daß man irgendwie braucht, daß die Folgenglieder sämtlichst größer 1/2 sind. Es reicht aber auch, wenn alle Folgenglieder größer gleich 1 sind. Also ist es sinnvoll, bei der Beschränktheit gleich alles zu zeigen, d.h. beide Schranken zu ermitteln. Dann aknn man alle Schritte umkehren und man geht von einer wahren aussage aus und schon hat man den Monotoniebeweis.

Zu deinen Grenzwertberechnungen: Das ist ein klassischer Zirkelschluß! Weil a_n gegen 4 geht, geht sqrt(12 + a_n) gegen sqrt(16) = 4. Du hast die strenge Monotonie und die Beschränktheit, also existiert der Grenzwert. Du mußt jetzt "nur noch" zeigen, daß es für jedes noch so kleine epsilon ein n gibt, so daß a_n größer als 4 - epsilon ist.

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11:35 Uhr, 10.12.2007

also komm ich draf indem ich probier und dann des "schöner" hinschreib :-)

warum ist das ein zirkelschluss, ich ahb doch oben bewiesen das a_n<4 und darf das doch dann verwenden?!

wie mache ich den beweis mit dem epsilon?

m-at-he

13:02 Uhr, 10.12.2007

Hallo,

wenn Du bewiesen hast, daß etwas kleiner 4 ist, dann ist es kleiner 4! Aber vielleicht ist es ja auch kleiner 3,9999999999999999999999999999999999999999..8? Dann ist 4 aber trotzdem kein Grenzwert!

"also komm ich draf indem ich probier und dann des 'schöner' hinschreib :-)"

Da ist nichts probiert. Zunächst habe ich mir einen Überblick verschafft, indem ich die ersten Folgenglieder berechnet habe. Dann habe ich versucht, von der zu beweisenden Annahme aus auf weitere Zwischenergebnisse zu kommen. Damit habe ich das Problem geteilt und nach dem Prinzip "Teile und Herrsche" zunächst das Zwischenergebnis bewiesen. Jetzt war von diesem Zwischenergebnis aus der Weg zurück offen bis auf nichtäquivalente Umformungen. Diese Schwierigkeiten haben sich aber durch das erweiterte Zwischenergebnis in Luft aufgelöst. Das ist etwas mehr als das Ganze nur schöner hingeschrieben. Klar, einige Dinge sind nur deshalb so in meinen Schritten, weil sie sich durch die Umkehrung der Schritte so ergeben haben. Oder glaubst du, daß das reine Intuition war, zunächst 1/2 abzuziehen und dann etwas mit 7/2 dastehen zu haben?

"warum ist das ein zirkelschluss"

Warum das ein Zirkelschluß ist? Du benutzt zur Berechnung der 16 bereits die 4, die Du dann erst als Ergebnis des Wurzelziehens aus der 16 ermittelst. Du "beweist" mit der Behauptung als gültige Voraussetzung die Behauptung selbst. Du siehst die Katze mit dem Schwanz?

Du muß irgendwie so rangehen:

a_(n+1) >= 1 ; ist ja bereits bewiesen

4 + a_(n+1) >= 5

1/5 >= 1/(4 + a_(n+1))

und

a_(n+1) = sqrt(12 + a_n)

(a_(n+1))^2 = 12 + a_n

-(a_(n+1))^2 = -12 - a_n

16 - (a_(n+1))^2 = 4 - a_n

(4 - a_(n+1))*(4 + a_(n+1)) = 4 - a_n

(4 - a_(n+1)) = 1/(4 + a_(n+1)) * (4 - a_n)

(4 - a_(n+1)) kleiner gleich 1/5 * (4 - a_n)

Da 1 kleiner gleich a_n kleiner 4 für alle n ist, ist 4 - a_n größer Null und es gilt |4 - a_n| = 4 - a_n für alle n.

|4 - a_(n+1)| kleiner gleich 1/5 * |4 - a_n|

Also (Beweis mittels Induktion!)

|4 - a_(n+1)| kleiner gleich (1/5)^n * |4 - a_1| = (1/5)^n * |4 - 1| = (1/5)^n * |3| = 3*(1/5)^n

Sei nun epsilon beliebig klein, dann ist

|4 - a_n| kleiner epsilon

wenigstens für alle n, für die gilt:

3*(1/5)^(n-1) kleiner epsilon

(1/5)^(n-1) kleiner 1/3*epsilon

(n-1) * ln(1/5) kleiner ln(1/3) + ln(epsilon) ; Vorsicht ln(1/5) ist negativ: Relationszeichenwechsel!

n-1 größer kleiner ln(1/3)/ln(1/5) + ln(epsilon)/ln(1/5)

n größer kleiner ln(1/3)/ln(1/5) + ln(epsilon)/ln(1/5) + 1

Egal wie klein epsilon auch gewählt wird, es läßt sich immer ein n in Abhängigkeit von epsilon bestimmen, so daß gilt:

|4 - a_n| kleiner epsilon

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19:21 Uhr, 10.12.2007

Hi,

erstmal danke für deine geduld!
also mit dem probieren und schön hinshcreiben war etwas blöd formuliert, ich dachte man muss probierne oder überlgen um auf sowas mit 1/2 zu kommen, und das dann ordentlich aufschreiben.(hoff jetzt ist klar was ich meine)
ok bei meiner grnezwert bestimmung beist die katze sich wirklich slebst in den schwanz!
aber deine grenzwertberechnung kann ich leider nicht nachvollziehn!
ich komm klar bis
"Also (Beweis mittels Induktion!)"
ab hier verteh ich das ganze nichtmehr, ich muss doch nur zeigen was der grenzwert ist, das es einen gibt habe ich doch mit monotonie und beschränktheit schon bewiesen.
bzw wo zeigst du das der grenzwert 4 ist und woher kommt das (1/5)^n

mit dem epsilon kriterium kann ich doch nu rzeigen das ein vermuteter grenzwert stimmt, oder habe ich da was falsch verstanden?
ich könnte also zeigen: BEH: Grenzwert =4 $|a_n-4|<\epsilon$ und das müsste eben erfüllt sein oder?

habe gerade das gefühl das ich total auf dem schlauch steh

m-at-he

06:24 Uhr, 11.12.2007

Hallo,

"bzw wo zeigst du das der grenzwert 4 ist"

sozusagen in meinem ganzen letzten Thread

"und woher kommt das (1/5)^n"

Ich zeige, daß |4 - a_(n+1)| kleiner gleich 1/5*|4 - a_n| ist, oder?

Dann ist doch auch |4 - a_n| kleiner gleich 1/5*|4 - a_(n-1)|, oder?

Dann ist aber |4 - a_(n+1)| kleiner gleich 1/5*1/5*|4 - a_(n-1)|, oder?

Das kann man fortsetzen bis |4 - a_(n+1)| kleiner gleich (1/5)^n*|4 - a_1|, muß das aber mit vollständiger Induktion beweisen!

"mit dem epsilon kriterium kann ich doch nu rzeigen das ein vermuteter grenzwert stimmt, oder habe ich da was falsch verstanden?"

Absolut korrekt, man kann nur beweisen, daß ein vermuteter Grenzwert auch der Grenzwert ist! Aber Du selbst warst Dir doch im Klaren, daß 4 der Grenzwert sein muß, oder irre ich mich da? Ja, auch ich war mir sicher, daß 4 der Grenzwert sein muß und ich habe deshalb natürlich den Abstand zu 4 betrachtet und gezeigt, daß es zu jedem epsilon ein n ele N gibt, für das gilt, daß alle weiteren a_k mit k größer gleich n+1 in der epsilon-Umgebung liegen.

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12:50 Uhr, 11.12.2007

alles klar, jetzt versteh ichs!

Vielen Dank!

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