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rekursiv definierte folge a(n+1)= sqrt(1+an)

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Monotonie

 
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oimmmm

oimmmm aktiv_icon

17:58 Uhr, 15.11.2015

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Guten Abend,

ich habe die rekursiv definierte folge a1:=1,a[n+1]:=1+a[n] gegeben
Ich soll nun mithilfe der vollständigen Induktion zeigen, dass
1. die folge monoton wachend ist
2. die gleider im Intervall 1≤a[n]≤3 liegen
Auch soll ich daraus folgern, dass die Folge konvergiert und den Grenzwert bestimmen.

Folgendes hab ich schon:
a[n]≤a[n+1]
a[n]≤1+a[n]
a[n]2≤1+a[n]
a[n]2-a[n]-1≤0
letzteres habe ich dann mit der pq-Formel gelöst, wobei das Ergebnis
0.5±1.25 ist.
Die Folge ist also nur in dem Intervall monoton steigend.
Es liegt auch nahe, dass 0.5+1.25 der Grenzwert ist.
Wenn das stimmt, stimmt dadurch, dass sie monoton steigend ist, das erste Glied 1 ist
und 0.5+1.25 der Grenzwert ist, dass alle Glieder im Intervall 1≤a[n]≤3 liegen

Wie kann ich das jedoch mathematisch korrekt zeigen?


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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michaL

michaL aktiv_icon

18:06 Uhr, 15.11.2015

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Hallo,

a2=1+a1=1+1=2>1=a1>0(!) Insbesondere gelten 1+a1,1+a2≥0

an+1>an⇔1+an>1+an-1⇔ai≥1 für i≤n1+an>1+an-1⇔an>an-1

Mfg Michael
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