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schnittpunkt mit vektoren berechnen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Gleichungssystem, rettungshubschrauber, Schnittpunkt, Vektoren

matheluemmelin aktiv_icon

07:15 Uhr, 23.03.2012

Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe:

Der Rettungshubschrauber Alpha startet um

10 : 00

Uhr vom Stützpunkt Adlerhorst

A (10 | 6 | 0)

. Er fliegt gradlinig mit einer Geschwindigkeit von

300

km/h zum Gipfel des Mount Devil

D (4 | - 3 | 3),

wo sich der Unfall ereignet hat.Die Koordinaten sind in Kilometern angegeben.Zeitgleich hebt der Hubschrauber Beta von der Spitze des Tempelbergs

T (7 | - 8 | 3)

ab , um Touristen nach Bochum-Nord

B (4 | 16 | 0)

zurückzubringen. Seine Geschwindigkeit beträgt350 km/h.

Aufgabe: Zeigen sie rechnerisch, dass die beiden Hubschrauber sich auf Kollisionskurs befinden.

Ich hab die geraden AD und TB: (ihr müsst euch das alls spalte vorstellen)

(10 | 6 | 0) + r \cdot (4 | - 3 | 3) = (7 | - 8 | 3) + s \cdot (4 | 16 | 0)

Das Gleichungssystem lautet dann, oder?

10 + 4 r = 7 + 4 s

6 + (- 3) r = (- 8) + 16 s

0 + 3 r = 3 + 0 s

Ich bin mir nicht sicher ob das gleichungssystem richtig ist! Ich bräuchte dringend Hilfe!

Danke schonmal im Vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

08:05 Uhr, 23.03.2012

Hallo,

"Das Gleichungssystem lautet dann, oder?"

Klares Jain! Ja, es lautet "dann" genauso, wenn die beiden Geradengleichungen vorher stimmen! Nein, es lautet nicht so, weil die Geradengleichungen nicht stimmen! Deine Richtungsvektoren sind falsch! Du kannst da nicht einfach die Ortsvektoren der Zielpunkte hernehmen, denn die Geraden gehen nicht notwendigerweise (und in diesem Fall gehen sie auch wirklich nicht) durch den Ursprung!

matheluemmelin aktiv_icon

08:15 Uhr, 23.03.2012

Hab ich mir schon gedacht! Und wie müsste das dann richtig lauten? Aber warum stimmen denn die geraden gleichungen nicht?

so etwa:

10 - 6 r = 7 + 3 s

6 - 9 r = - 8 r + 24 s

3 r = 3 - 3 s

???

Eva88 aktiv_icon

08:23 Uhr, 23.03.2012

Erst mal die Vektoren bestimmen.

v 1 = A + r (D - A)

v 2 = T + s (B - T)

dann

v 1 = v 2

deine Gleichungen sind falsch.

Eva88 aktiv_icon

08:35 Uhr, 23.03.2012

10 - 6 r = 7 - 3 s

6 + 9 r = - 8 + 24 s

0 - 3 r = 3 - 3 s

Bummerang

08:36 Uhr, 23.03.2012

Hallo Eva88,

auch die sind nicht richtig!

Eva88 aktiv_icon

08:39 Uhr, 23.03.2012

Sorry

3. Gleichung muss

0 + 3 r = 3 - 3 s

heissen.

Bummerang

08:40 Uhr, 23.03.2012

Hallo Eva88,

auch die zweite Gleichung ist falsch!

matheluemmelin aktiv_icon

08:52 Uhr, 23.03.2012

Warum ist die zweite gleichung falsch?
Könntest du mir einen lösungsansatz vllt hinschreiben, als verbesserung?

Eva88 aktiv_icon

08:52 Uhr, 23.03.2012

6 - 9 r = - 8 + 24 s

r = \frac{2}{3}

s = \frac{1}{3}

Sp=(6/0/2)

jetzt noch die Abstände bestimmen und die Flugzeiten ausrechnen.

matheluemmelin aktiv_icon

09:02 Uhr, 23.03.2012

Danke schön mal für die antwort!

Ist der abstand richtig berechnet?

in der wurzel:

{(- 6 - 10)}^{2} + {(9 - 6)}^{2} + {(- 3 + 0)}^{2} = 16,55

in der wurzel:

{(- 3 - 7)}^{2} + {(24 - (- 3))}^{2} + {(- 3 - 3)}^{2} = 34.06

und wie mach ich das mit den flugzeiten?
Länge/ geschwindigkeit

\cdot 60

???

Bummerang

09:04 Uhr, 23.03.2012

Hallo,

das sind nicht die gesuchten Abstände! Gesucht ist der Abstand zwischen jeweiligem Startpunkt und dem Schnittpunkt der Fluggeraden!

Eva88 aktiv_icon

09:08 Uhr, 23.03.2012

Die Abstände

Abstand AS

= \sqrt{56}

Abstand TS

= \sqrt{66}

matheluemmelin aktiv_icon

09:10 Uhr, 23.03.2012

also muss es folgendermaßen lauten:

AD

- \to

in der wurzel:

{(4 - 10)}^{2} + 8 - 3 - 6)^{2} + 83 - 0)^{2} = 11.22

- \to

in der wurzel:

{(4 - 7)}^{2} + {(16 - (- 8))}^{2} + {(0 - 3)}^{2} = 128.07

das zweite ergbins verwirtt mich

matheluemmelin aktiv_icon

09:11 Uhr, 23.03.2012

ich kann deine rechnung leider nicht nachvollziehen! könntest du mir vllt den rechenweg hinschreiben, bzw den ansatz?

Bummerang

09:14 Uhr, 23.03.2012

Hallo,

zwei Mal Startpunkt - Schnittpunkt berechnen
von beiden Vektoren die Länge berechnen
die Ergebnisse mit Eva88 vergleichen
Sind sie identisch?

\to

Freuen! Sind sie nicht identisch?

\to

Noch Mal von vorn!

Eva88 aktiv_icon

09:15 Uhr, 23.03.2012

Der Abstand ist doch Ortsvektor 1 bis Schnittpunkt.

OV1=(10/6/0)

Sp=(6/0/2)

d = \sqrt{{(10 - 6)}^{2} + {(6 - 0)}^{2} + {(0 - 2)}^{2}}

d = \sqrt{16 + 36 + 4} = \sqrt{56}

Das selbe mit OV2 und Sp

matheluemmelin aktiv_icon

09:15 Uhr, 23.03.2012

dankeschön! ich probieres es gleich mal aus und melde mich später noch mal! ;-) Vielen dank für eure hilfe!

matheluemmelin aktiv_icon

14:22 Uhr, 23.03.2012

und wie berechne ich die flugzeiten?
gibt es dafür eine formel?

länge/geschwindigkeit

\cdot 60

Bummerang

15:17 Uhr, 23.03.2012

Hallo,

"und wie berechne ich die flugzeiten? gibt es dafür eine formel?"

Mal ehrlich, hast Du wirklich keine Ahnung, wieso die Geschwindigkeit

z . B

. in

\frac{k m}{h}

oder in

\frac{m}{s}

angegeben wird?

matheluemmelin aktiv_icon

16:06 Uhr, 23.03.2012

danke für deine hilfe trotzdem!

prodomo aktiv_icon

17:02 Uhr, 23.03.2012

Die Koordinaten waren in km gegeben, also sind auch die Entfernungen in km. Bei

300

km/h braucht

α

für die

\sqrt{56} = 7,843

0,025 h

oder umgerechnet

\frac{1}{40} h = 90

Sekunden. Der zweite braucht für die

\sqrt{66} = 8,124

km bei

350

km/h

0,0232 .

h,

umgerechnet

83,56

Sekunden. Sie passieren den Kollisionspunkt also mit

6,5

Sekunden Abstand. Der zweite ist

632

Meter vom Kollisionspunkt entfernt, wenn der erste ihn erreicht. Also kommen sie wahrscheinlich mit dem Schrecken davon.

Die Flugzeiten in Stunden berechnest du mit

\frac{\sqrt{56}}{300}

bzw.

\frac{\sqrt{66}}{350},

also Weg/Geschwindigkeit. Das ist 5. Klasse, daher die Nachfrage von Bummerang.

Aber wenn jemand auf eine Schule gleichen Namens geht, muss ich einfach helfen. Trotzdem eine Warnung: mit dem hier deutlich gewordenen Niveau wirst du auf Dauer nicht zurechtkommen.

matheluemmelin aktiv_icon

19:17 Uhr, 23.03.2012

Dankeschöön! :-D) das ist super nett von dir! Danke! :-)

matheluemmelin aktiv_icon

13:02 Uhr, 25.03.2012

ich hab ne kurze frage!
wenn ich den Abstand des Ortvektors 1 zum Schnittpunkt ausrechen kommt bei mir

7,483

und nicht

7,843

raus. hab ich mich vertippt du? dann würde bei den zeitabstänen unterschiedliche zahlen rauskommen!

funke_61 aktiv_icon

09:54 Uhr, 26.03.2012

\sqrt{56} \approx 7,483

da war doch nur ein Zahlendreher bei prodomo

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