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uneigentliches Integral, wie setze ich die Grenzen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integral, Problem bei Limes

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12:02 Uhr, 10.10.2010

Die Angage lautet: Berechne Integral von

k \cdot x \cdot E^{- k \cdot x} d x

im Bereich von 0 bis +unendlich. Habe das Integral gelöst und bekomme

E^{- k \cdot x} \cdot ((\frac{1}{k}) - x)

.

Mein Problem: ich weiß, dass sich

E^{- x}

gegen 1 geht. Wie schreib' ich das fertig, so dass am Ende eine schöne Zahl herauskommt?

[

E=eulersche Zahl]

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Flo1990 aktiv_icon

12:10 Uhr, 10.10.2010

Uneigentliche Intergrale rechnst du formal richtig, indem du das

\infty

Zeichen durch eine Variable substituierst, die du dann gleichzeitig mit Limis gegen unendlich gehen lässt.

Also:

\int_{0}^{\infty} f (x) d x = lim_{a \to \infty} \int_{0}^{a} f (x) d x

Im letzten Schritt, also wenn du die Grenzen in die Stammfunktion einsetzt, kannst du dann den Limis auflösen und in dem Beispiel oben a gegen Unendlich gehen lassen.

Jedoch wirst du um eine Fallunterscheidung nicht drumrum kommen, weil

e^{- k x}

je nach

k,

wenn du

x \to \infty

gehen lässt, entweder gegen 0 oder gegen

\infty

gehen wird, außer du schänkst von vornerein

k

ein.

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12:31 Uhr, 10.10.2010

Danke, danke. Hätte sagen sollen, das

k > 0

ist. Mein nächstes Problem ist, wie setze ich die limes. Wird aus: Integral von

k \cdot x \cdot E^{- k \cdot x}

von 0 bis +Unendlich k*limes

t

geht gegen unendlich

[E^{- k \cdot x} \cdot ((\frac{1}{k}) - x)]

von 0 bis 1?

Flo1990 aktiv_icon

14:04 Uhr, 10.10.2010

Ich übernehme jetzt einfach mal deine Stammfunktion und rechne damit ganz normal das Integral aus:

lim_{a \to \infty} {[e^{- k x} \cdot ((\frac{1}{k}) - x)]}_{0}^{a} =

lim_{a \to \infty} {[e^{- k a} \cdot ((\frac{1}{k}) - a)] - [e^{- k 0} \cdot ((\frac{1}{k}) - 0)]}

Nun lösen wir den Limes auf: wenn wir wissen, dass

k > 0

ist, dann ergibt sich für

a \to \infty

und

- k < 0,

dass

- k a \to - \infty

geht. Folglich geht

e^{- \infty}

gegen 0. Die Klammer ergibt

- \infty,

wenn wir

a \to \infty

gehen lassen. Also:

0 \cdot (- \infty) - [e^{0} \cdot (\frac{1}{k})] =

- 1 \cdot \frac{1}{k} =

- \frac{1}{k}

Ich hab gerade mal noch deine Stammfunktion überprüft, sie ist nicht richtig. Denn leiten wir diese ab, landen wir nicht bei deiner ursprünglichen Funktion.

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20:16 Uhr, 10.10.2010

Danke Flo, bist super!!!!

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