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weg mit Integral berechnen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Integral, Zeit

melikee09 aktiv_icon

11:41 Uhr, 10.01.2010

Hey leute.. also ich hab eine aufgabe zum weg zeit diagramm..

so ich habe jetzt eine zeichnung und die aufgbae lautet:
Gib möglichst genau an welche Geschwindigkeit Du zu folgenden Zeitpunkten zurückgelegt hast?

ich hab sie ausgerechnet und abgegeben aber Mein lehrer meinte ich soll das mit dem Integral berechnen und die psyhkalischen gesetze mit einbeziehn.

Wie kann ich das jetzt machen bitte um hilfe..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

David222 aktiv_icon

11:57 Uhr, 10.01.2010

a-Beschleunigung,
V-Geschwindigkeit
t-Zeit
S-Weg

a = \frac{d V}{d t} \to d V = a \cdot d t

\to V = \int a \cdot d t = a \cdot t + C \to (C = V_{0})

\to V = a \cdot t + V_{0}

V = \frac{d S}{d t} \to d S = V \cdot d t

V

durch

a \cdot t + V_{0}

ersetzen

d S = (a \cdot t + V_{0}) d t

S = \int (a \cdot t + V_{0}) d t = \frac{1}{2} a t^{2} + V_{0} \cdot t + C \to (C = S_{0})

S = \frac{1}{2} a t^{2} + V_{o} \cdot t + S_{0}

melikee09 aktiv_icon

12:39 Uhr, 10.01.2010

ich hab das nicht soo ganz verstanden

: S

also mit erklärung kurz und knapp wäre echt lieb

David222 aktiv_icon

12:55 Uhr, 10.01.2010

ich kann es mal versuchen.
Also die erklärung nur für S?
physiklaisches Gestzt:

V = \frac{Δ S}{Δ t}

Das

Δ

steht einfach nur für eine differenz
Nun stellst du das nach

Δ S

um.

Δ S = V \cdot Δ t

Vorher hast du gesehen das ich

V

hergeleitet habe, das habe ich nun einfach eingestzt

\to Δ S = (a \cdot t + V_{0}) Δ t

Um die

Δ s

wegzubekommen integriert man.

\int Δ S = \int (a \cdot t + V_{0}) Δ t

Du weißt was integration bedeutet?
Wir wollen nun die Gleichung nach

t

integrieren.
Also bei

t

wird die Potenz um eins adiert und der Kehrwehrt von der Potenz kommt als Produkt davor. Wenn du

V

nach

d t

ableitest schreibst du einfach

V \cdot t,

da vorher kein

t

da ist, aknn man also auch als

t^{0}

schreiben.
Und nun setzt du das zusammen. Wenn man integriert entsteht hinten immer noch eine Integrationskonstante. Sollte allerdings bekannt sein

S = a \cdot \frac{1}{2} \cdot t^{2} + V_{0} \cdot t + C

Sollte es nicht verständlich sein, einfach nochmal fragen, was du genau nicht verstehst

melikee09 aktiv_icon

13:00 Uhr, 10.01.2010

ich hab die aufgabe jez einfach mal als bild reingestellt.
das ist aufgabe 3 die erste aufgabe musste ich ja nur zeichnen aber auch bei aufgabe 2 könnte ich das doch mit dem integral berechnen oder?

was ich jetzt nicht vertsehe wie ich das alles einsetzen soll:S:S

David222 aktiv_icon

13:13 Uhr, 10.01.2010

erstens und zweitens hast du?
Gib mir mal ein paar Minuten Zeit

melikee09 aktiv_icon

13:14 Uhr, 10.01.2010

du hast alle zeit der welt nur ich bin echt verzweifelt:S:s
dankeeee

David222 aktiv_icon

13:43 Uhr, 10.01.2010

Also die Formel habe ich dir hergeleitet.

S = \frac{a}{2} t^{2} + V_{0} \cdot t + S_{0}

a = \frac{V}{t}

S_{0} -

Anfangsweg,

V_{0} -

Anfangsgeschwindigkeit

Nach 7 sek.
Es handelt sich dabei um eine gleichmäßigtbeschleunigte Bewegung
Ich setzte gleich mal a inS ein:

S = V \cdot \frac{t}{2} + V_{0} \cdot t + S_{0}

Da unsere Anfangsgeschwindigkeit und der Anfangsweg jeweils null ist entfällt der hintere Teil.
Also belibt für das erste Teilstück nur noch

S = V \cdot \frac{t}{2}

übrig

S = \frac{18 m}{2 \cdot 3,6 s} \cdot 7 s = 17,5 m

Nach

12

sek.
Nun hanedelt es sich um eine gleichmäßige Bewegung, da

a = 0

ist
Nehmen wir wieder unsere Formel:

S = \frac{a}{2} t^{2} + V_{0} \cdot t + S_{0}

a = O

ist fällt der erste Teil weg.
Bleibt nur noch stehen:

S = V_{0} \cdot t + S_{o}

V_{0}

ist nun unsere Anfangsgeschwindigkeit von 18km/h

(5 \frac{m}{s}),

und unsere Anfangsweg sind die

17,5 m,

da wir diese schon zurück gelegt haben.
HAtte ich vergessen, die Zeit

t

ist natürlich

5 s

. Da wir den weg berechnen den er 5 sek lang zurücklegt bei gleich bleibender Geschwindigkeit.
Nun setzen wir den ganzen Spaß wieder ein:

S = 5 \frac{m}{s} \cdot 5 s + 17,5 m = 42,5 m

.
Nach

17

sek hat dein Fahrzeug eine strecke von

42,5 m

zurück gelegt.
Klar soweit erst einmal?

melikee09 aktiv_icon

13:47 Uhr, 10.01.2010

jjaa das hab ich verstanden so ähnlich hab ich das auch.

hast du das jez mit dem integral berechnet?

David222 aktiv_icon

14:03 Uhr, 10.01.2010

Nein, da ich die Formel schon integriert hatte
Werte kann man nicht integrieren, wie stellst du dir das vor?
Du meinst wohl so:

S = \int (a \cdot t + V_{0}) d t

a = \frac{V}{t}

a inS einsetzen

\to S = \int (\frac{V}{t} \cdot t + V_{0}) d t = \int (V + V_{0}) d t

Werte einsetzen

S = (0 + 5 \frac{m}{2}) \cdot 5 s = 25 m

Nun mußt du noch

S_{0}

dazu addieren, also

+ 17,5 m = 42,5 m

meinst du so, das macht so eigentlich kein Mensch

David222 aktiv_icon

14:24 Uhr, 10.01.2010

Huhu noch daaaa?

melikee09 aktiv_icon

14:35 Uhr, 10.01.2010

ja also ich hab das mit der formel

a \cdot b : 2

gemacht

und mein lehrer hat geschrieben psycikalische gesetze und auch das integral fehlen..

und wenn ich das jez so mache wie du ist das richtig oder??

melikee09 aktiv_icon

14:51 Uhr, 10.01.2010

wieso nach

17

sekunden?

42,5 m

hat er doch nach

12

sekunden zurückgelegt oder nichtt??

und wie mach ich das jetzt weiter also mit

17, 22,

25..etc??

David222 aktiv_icon

15:01 Uhr, 10.01.2010

Ja sorry, natürlich nach

12

sek.
Noch mal zusammen gefasst.
Deine Physikalischen Gestze:

a = \frac{d V}{d t}

und

v = \frac{d S}{d t}

die stellst du um und integrierst die, sowie ich es oben gmeacht habe.
So wird das eigentlich richtig gemacht und damit müßte sich dein Lehrer auch zufrieden geben.

Der Lösungen zum Rest folgen

David222 aktiv_icon

15:01 Uhr, 10.01.2010

Ja sorry, natürlich nach

12

sek.
Noch mal zusammen gefasst.
Deine Physikalischen Gestze:

a = \frac{d V}{d t}

und

v = \frac{d S}{d t}

die stellst du um und integrierst die, sowie ich es oben gmeacht habe.
So wird das eigentlich richtig gemacht und damit müßte sich dein Lehrer auch zufrieden geben.

Der Lösungen zum Rest folgen

David222 aktiv_icon

15:17 Uhr, 10.01.2010

Nach

17

sek.:
Unser

V_{0}

ist immer noch

5 \frac{m}{s}

S_{0}

mittlerweile

42,5 m

Nehmen wir wieder unsere Gleichung vor:

S = \frac{a}{2} t^{2} + V_{0} \cdot t + S_{0}

t

für diesen Abschnitt beträgt

5 s

.
nun mußt du wissen das es sich wieder um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt, allerdings bremst das Fahrzeug nun, also ist die Beschleunigung negativ.
ICh werde a wieder mit

\frac{V}{t}

ersetzen:

S = - \frac{V}{2} t^{2} + V_{0} \cdot t + S_{0}

V

und

V_{o}

sind übrigens identisch, sprich

5 \frac{m}{s}

Werte einsetzen:

\to S = - \frac{5 m}{2 s} \cdot 5 s + 5 \frac{m}{s} \cdot 5 s + 42,5 m

S = 55 m

Dein Fahrzeug hat nun nach

17 s

eine Strecke von

55 m

zurückgelegt.

Nach 22sek:
Da das Fahrzeug nun

5 s

lang an der Ampel steht bewegen wir uns nicht vorwärts, also bleibt

S

nach

22 s

bei

55 m

oooo man, du kannst einen ganz schön beschäftigen
Muß ich für die restlichen Zeiten, das auch immer so ausfürlich machen?

melikee09 aktiv_icon

15:36 Uhr, 10.01.2010

weil ich muss das auch erklären

: S

ich weiß ja nicht wie und das ist eigentlich gut wie du mir das erklärst.. also wenn du keine lust mehr hast versteh ich das aber danke:-)

David222 aktiv_icon

15:37 Uhr, 10.01.2010

na dann amch ich dir den rest auch noch.
Sollte mal ne Frage auftauchen dann frag einfach

melikee09 aktiv_icon

15:39 Uhr, 10.01.2010

dankee echt nett:-):-) mein lebensretter denn mathe versteh ich 0:-D)

David222 aktiv_icon

15:56 Uhr, 10.01.2010

Nach

25

sek.:
Es handelt sich wieder um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
Da das fahrzeug aus dem Stand anfährt ist unsere Anfangsgeschwindigkeit

V_{0} = 0

.
Unser Anfangsweg ist mittlerweile auf

55 m

angestiegen
Unsere formel:

S = \frac{a}{2} t^{2} + V_{0} \cdot t + S_{0}

Zeit in der da fahrzeug gleichmäßigt beschleunigt beträgt 3 sek. Also

t = 3 s

V_{0} = 0

ist fällt der mittlere Teil weg.
Und a erstze ich wieder mit

\frac{V}{t}

. Hier ist unsere

V

nicht

V_{0}

sondern die Endgschwindigkeit von 9km/h bzw.

2,5 \frac{m}{s}

. Werte wieder alle einsetzen:

S = \frac{2,5 m}{2 s} \cdot 3 s + 55 m = 58,75 m

Das fahrzeug hat nach

25

sek eine Strecke von

58,75 m

zurückgelegt.

Nach

32

sek.:
Es handelt sich dabei wieder um eine gleichmäßig beschleunigt Bewegung.
diesmal ist aber

V_{0} = 9

km/h

= 2,5 \frac{m}{s}

und

S_{0} = 58,75 m

Für

V

müssen wir nun die differenz von

V_{0}

und

V_{E n d g e s c h w i n d i g k e i t}

einsetzen
Der Vorgang dauert

7 s,

also

t = 7 s

V = (27 - 9)

km/h

= 18

km/h

= 5 \frac{m}{s}

Alles wieder in die Gleichung einsetzen:

S = \frac{a}{2} t^{2} \cdot V_{0} \cdot t + S_{0}

S = \frac{V}{2} \cdot t + V_{0} \cdot t + S_{0}

Werte wieder einsetzen:

S = \frac{5 m}{2 s} \cdot 7 s + 2,5 \frac{m}{s} \cdot 7 s + 58,75 m = 93,75 m

Nach

32

sek hat das Fahrzeug eine Gesamtstrecke von

93,75 m

zurück gelegt.

David222 aktiv_icon

16:11 Uhr, 10.01.2010

Nach

35

sek.:

Es handelt sich wieder um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
Diesmal ist die Beschleunigung wieder negativ, da das Fahrzeug bremst.

V_{0}

=27km/h

= 7,5 \frac{m}{s}, V_{0} = 93,75 m

Zeit des Vorgangs:

t = 3 s

Gleichung wieder hernehmen und dran Denken das a negativ ist.

S = - \frac{a}{2} t^{2} + V_{0} \cdot t + S_{0}

a wieder mit

\frac{V}{t}

ersetzen. Hier entspricht dem

V

wieder dem

V_{0} \to V_{0} = V = 7,5 \frac{m}{s}

\to S = - \frac{V}{2} \cdot t + V_{0} \cdot t + S_{0}

Werte einsetzen:

S = - \frac{7,5 m}{2 s} \cdot 3 s + 7,5 \frac{m}{s} \cdot 3 + 93,75 m = 105 m

Nach

35

sek hat dein fahrzeug eine Strecke von

105 m

zurückgelegt.

Nach

40

sek.:
Auto steht, bewegt sich nicht

\to

keine Beschleunigung und

V = 0

Also bewegt sich das Auto nicht, somit bleibt der zurückgelegte Weg bei

105 m

Dein Fahrzeug hat nach

40 s

eine Gesamtstrecke von

105 m

zurück gelegt.

Sonst noch Fragen?

melikee09 aktiv_icon

16:13 Uhr, 10.01.2010

dankeeeeeeeeeeeeeeedanke danke dankee echttt du hast mir echt geholfen dankee

bei drei steht noch versuche eine geometrische deutung der erechneten werte für die länge der strecke zu finden..

das wäre nur noch das letzte dann bin ich durchh dankee

David222 aktiv_icon

16:15 Uhr, 10.01.2010

Was ist eine Geometrische Deutung?
Einfach ein

V - t

oder S-t-Diagramm?

melikee09 aktiv_icon

16:16 Uhr, 10.01.2010

hmm keine ahnung deswegen frag ich ja:-D) heheh

David222 aktiv_icon

16:20 Uhr, 10.01.2010

Das einzigste was mir so einfällt wäre, das in einem

V - t

Diagramm der Anstieg des Graphen gleich a ist, und in einem S-t-Diagramm ist der Anstieg der Kurve gleich

V

melikee09 aktiv_icon

16:21 Uhr, 10.01.2010

hmm okee ist ja auch nicht soo schlimm wenn ich das nicht habe den größten teil hab ich jaa:-D):-D) dankee

David222 aktiv_icon

16:27 Uhr, 10.01.2010

Man bedenke aber das bei einer gleichmäßigbeshcleunigten Bewegung der Graph parableförmig ist, also der Anstieg in jedem Punkt anders, da sich

V

ändert
Ansonsten habe ich auch keine Ahnung
Du könntest mir mal sagen was deinem Vortrag rausgekommen ist

David222 aktiv_icon

16:28 Uhr, 10.01.2010

bitte bitte

melikee09 aktiv_icon

16:29 Uhr, 10.01.2010

jaa mach ich moregn:-D) ich muss das jetzt nur noch richtig aufschreiben und erklären können :-D) aso ja und eine frage noch wieso setzten wir für a immer

\frac{v}{t}

ein??

David222 aktiv_icon

16:37 Uhr, 10.01.2010

ach siehste das wollte ich noch dazu schreiben.
Also für

t

setz du immer den aktullen Zeitpunkt ein minus den Zeitpunkt bis dahin der Vorgang geht.
Also

t = t_{A n f a n g} - t_{E n d e}

Und

a = \frac{d V}{d t} \to d V = a \cdot d t

V = \int a \cdot d t = a \cdot t

das nach a umstellen

a = \frac{V}{t}

und das kannst du nun in die Gleichung

S = \frac{a}{2} t^{2} + V_{0} \cdot t + S_{0}

Wenn mich nicht alles täuscht gilt das nur für gleichmäßig Beschleunigte Bewegungen, also wenn a=const.
wie in deinem Fall.
Nun mußt du noch Wissen das

t

wieder die differnz ist (siehe 7 Zeilen weiter oben) und für

V

gilt das gleiche.

V = V_{A n f a n g} - V_{E n d e}

melikee09 aktiv_icon

16:39 Uhr, 10.01.2010

okey danke ich hab alles verstanden:-D):-D) echt jetzt hätte ich nicht gedacht:-D)

dankeeee für alles und für deine besondere mühe echt

vieln dank

David222 aktiv_icon

16:41 Uhr, 10.01.2010

War für mich gleichzeitig eine gute Vorbereitung auf meine Physikklausur, sowas ähnliches wird in einer Aufgabe bei uns bestimmt dran kommen

melikee09 aktiv_icon

16:42 Uhr, 10.01.2010

gut das freut mich hehe:-D):-D)

melikee09 aktiv_icon

16:46 Uhr, 10.01.2010

haha toll noch eine frageee... wie kann ich diagramme online erstellen oder ein programm oder soo dann mach ich meine präsentation morgen nämlich mit powerpoint:-D)

David222 aktiv_icon

16:55 Uhr, 10.01.2010

Gute Frage nächste Frage.
Habe sowas noch nie gemacht, aber eigentlich möchtest du nur ein paar linien ziehen, dazu reicht doch Paint aus.

melikee09 aktiv_icon

16:59 Uhr, 10.01.2010

ja aber diese programme rechnen das richtig aus also voll detailliert naja ich such ma weiter:-D)

David222 aktiv_icon

17:12 Uhr, 10.01.2010

Okay, mach das, viel Glück morgen
sollte dein Lehrer morgen noch was zu meckern haben, dann sag ihm das er ne Meise hat

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