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Ableitung gebrochen rationale Funktion

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Partielle Differentialgleichungen

hdph1 aktiv_icon

22:43 Uhr, 02.09.2015

Ich habe eine Frage zu einer Klausuraufgabe, bei der ich gescheitert bin.
Diese lautet

\frac{x^{2} - 4 x + 2}{x^{2} - 4}

Es mussten zwecks Kurvendiskussion die ersten drei Ableitungen gebildet werden.
Ich habe versucht, dies über die Queotientenregel zu machen, allerdings bin ich daran gescheitert, dass das irgendwann zu unüberischtlich geworden ist und ich den Faden verloren habe.
Der Professor meinte in der Klausur, dass man dies zwar mit der Quotientenregel lösen kann, dies allerdings zu zeitaufwändig wäre und es auch eine andere Möglichkeit gibt.
Ich kenne nur die Möglichkeit, dass man nach gemeinsamen Nullstellen sucht, Faktorisiert und kürzt.
Allerdings gibt es keine gemeinsame Nullstelle, so fält dieser Schritt schonmal weg.
Wie kann ich die Ableitungen schnell und einfach bilden? Kann mir jemand einen Tipp geben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

22:59 Uhr, 02.09.2015

Erstens,

\frac{x^{2} - 4 x + 2}{x^{2} - 4} = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4} + \frac{6 - 4 x}{x^{2} - 4} = 1 + \frac{6 - 4 x}{x^{2} - 4}

Zweitens,

\frac{6 - 4 x}{x^{2} - 4} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}

schreiben und passende

A

und

B

finden - das nennt man Partialbruchzerlegung

-Wolfgang-

23:04 Uhr, 02.09.2015

Ich kann in dieser Zerlegung keine nennenswerte Vereinfachung gegenüber der Quotientenregel erkennen:

\frac{(2 x - 4) \cdot (x^{2} - 4) - (x^{2} - 4 x + 2) \cdot 2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}

zusammenfassen ist doch wohl gut machbar :-)

Vielleicht Geschmacksache!

Wenn man aber bei einer Kurvendiskussion sowieso die Asypmtote mit Polynomdivision ausgerechnet - also den ganzrationalen Anteil bereits abgespalten hat - empfiehlt es sich natürlich, diese Darstellung zu benutzen.
Bei einer komplizierteren Funktion kann man wohl auch dann zeit sparen, wenn man diese Ploynomdivision vorzieht.

Aber in diesem Beispiel hat dein Professor mit "Kanonen auf Spatzen geschossen"!

W

hdph1 aktiv_icon

23:13 Uhr, 02.09.2015

Also das Thema Partialbruchzerlegung hatten wir überhaupt nicht.
Wäre schon fies, wenn er dies der "gut gemeinte" Tipp vom Prof wäre.
Ich weiss leider nicht, was er damit meinte.
Er sagte nur, Sie können die Quotientenregel nutzen, müssen es aber nicht.
Es geht auch schneller, hieß es.
Aber ich versuche das mal erneut per Quotientenregel jetzt zu lösen.

rundblick aktiv_icon

23:50 Uhr, 02.09.2015

.
" Er sagte nur, Sie können die Quotientenregel nutzen, müssen es aber nicht."

\to

hier vielleicht noch eine "quotientenregelfreie" Variante -
.. auch mit vorheriger Termumformung ..aber ohne Partialbruchzerlegung

\to

f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 2}{x^{2} - 4}

= \frac{x^{2} - 4 x + 4 - 2}{x^{2} - 4}

= \frac{{(x - 2)}^{2} - 2}{x^{2} - 4}

= \frac{x - 2}{x + 2} - \frac{2}{x^{2} - 4}

= 1 - \frac{4}{x + 2} - \frac{2}{x^{2} - 4}

= 1 - 4 \cdot {(x + 2)}^{- 1} - 2 \cdot {(x^{2} - 4)}^{- 1}

.. und jetzt problemlos schnell summandenweise ableiten mit Kettenregel ..

\to f' (x) = . .

.

nebenbei:
auch ich finde, dass die Quotientenregel hier genauso problemlos
zum Ziel führt - aber es gibt halt viele Meinungen und Lösungswege..

.

hdph1 aktiv_icon

20:30 Uhr, 03.09.2015

Die erste Ableitung ist in der Tat mit der Quotientenregel einfach zu meistern.
Jedoch fängt es bei mir mit der zweiten Ableitung schon an.
Das wird zu unübersichtlich für mich. Selbst bei den Ableitungsrechnern im Internet habe ich Mühe, den Faden nicht zu verlieren.

Ma-Ma aktiv_icon

20:42 Uhr, 03.09.2015

Was hast Du als 1.Ableitung raus ?

hdph1 aktiv_icon

20:45 Uhr, 03.09.2015

\frac{4 x^{2} - 12 x + 16}{(x^{2} - 4)^{2}}

bzw.
4

\frac{x^{2} - 3 x + 4}{(x^{2} - 4)^{2}}

(wobei ich mir nicht sicher bin, ob ich das hier so machen kann)

Ma-Ma aktiv_icon

20:56 Uhr, 03.09.2015

Willst Du die Quotientenregel anwenden für die 2. Ableitung ?

Wenn ja, dann definiere:

u = . .

. ?

u' = . .

. ?

v = ...

v' = ... .

hdph1 aktiv_icon

20:59 Uhr, 03.09.2015

4 x^{2} - 12 x + 16

u'=

8 x - 12

x^{4} - 8 x^{2} + 16

v'=

4 x^{3} - 16 x

rundblick aktiv_icon

21:01 Uhr, 03.09.2015

.
"

. .

. habe ich Mühe, den Faden nicht zu verlieren. "

Vielleicht ahnte dein Professor sowas schon irgendwie und hat
also nicht nur mit "Kanonen auf Spatzen geschossen".. ?

Nun, möglicherweise kommst du jetzt damit besser klar

: \to

f (x) = 1 - 4 \cdot {(x + 2)}^{- 1} - 2 \cdot {(x^{2} - 4)}^{- 1}

f' (x) = 4 \cdot {(x + 2)}^{- 2} + 4 x \cdot {(x^{2} - 4)}^{- 2}

f" (x)

= - 8 \cdot {(x + 2)}^{- 2} - ... ... ... ... ... .

.

für die fehlende Ableitung des zweiten Summanden
müsstest du jetzt noch die Produktregel kennen..

\to .

Ma-Ma aktiv_icon

21:03 Uhr, 03.09.2015

Ahhh, Du hast Dich um die Kettenregel gedrückt *schmunzel*

Nun setzt das Geraffel zusammen

. .

. evtl. ausmultiplizieren und zusammenfassen

. .

. mehr ist´s nicht

. .

. viel sorgfältige Schreibarbeit!
(Ist aber eher Stoff Klasse

11 ...)

LG Ma-Ma

- - - - - - - - - - - - -

Nachtrag: Der Beitrag von rundblick hat sich dazwischen gesetzt

. .

hdph1 aktiv_icon

21:10 Uhr, 03.09.2015

@ rundblick

Deine Version ist mir leider neu, hier muss ich erstmal nachvollziehen wie und was du genau gemacht hast, melde mich sobald ich dazu ne Frage habe

rundblick aktiv_icon

21:18 Uhr, 03.09.2015

.
"Deine Version ist mir leider neu.."

echt ??

\to

hast du nicht gelesen, dass ich dir das oben schon schrittweise vorgekaut habe?

und dazu

\to

"Ahhh, Du hast Dich um die Kettenregel gedrückt *schmunzel*"

\to

Ma-Ma die beiden Ableitungen , die er bisher veröffentlicht hat,
sind doch korrekt - oder ? *schmunzel*

.

hdph1 aktiv_icon

21:20 Uhr, 03.09.2015

8 x^{5} - 64 x^{3} + 128 x - 12 x^{4} + 96 x^{2}

- 192-16x^5+64x^3+48x^4+256x

kann das sein, oder habe ich schon bei ausmultiplizieren Fehler gemacht?

hdph1 aktiv_icon

21:21 Uhr, 03.09.2015

@ rundblick

Ok, dann ne konkrete Frage

wie wurde aus

x^2-4x+2

das

x^2-4x+4-2

rundblick aktiv_icon

21:28 Uhr, 03.09.2015

.
" wie wurde aus
x2−4x+2 "

lies mir bitte das mal laut vor !?

oder geht es darum, dass

(x^{2} - 4) = (x - 2) \cdot (x + 2)

dir nicht bekannt ist ?

nebenbei:
der entsprechende Bruch mit diesem Nenner konnte
ja dann noch gekürzt werden..
alles klar?

aber da Ma-Ma sich beschwert hat , will ich ihr nicht weiter
beim Schmunzeln ins Gehege kommen ..
.

hdph1 aktiv_icon

21:36 Uhr, 03.09.2015

Jetzt sollte es besser sein

-Wolfgang-

21:44 Uhr, 03.09.2015

Kann es sein, dass du bei der 2.Ableitung mit der Quotientenregel Probleme hattest, weil du nicht weißt, dass man nach deren Anwendung IMMER im Zähler die Klammer des Nenners ausklammern und wegkürzen kann?
Das macht dann beim Zusammenfassen in unserem Fall die Gleichung des Zählers um zwei x-Potenzen einfacher.

W

hdph1 aktiv_icon

22:38 Uhr, 03.09.2015

\frac{x^{2} - 12 x + 16}{(x^{2} - 4)^{2}}

Habe ich dich richtig verstanden? Also so

\frac{4 x^{2} - 12 x + 16}{x^{4} - 8 x^{2} + 16}

kürzen:

\frac{x^{2} - 12 x}{x^{4} - 2 x^{2}}

rundblick aktiv_icon

22:47 Uhr, 03.09.2015

.
falls du damit die erste Ableitung nach Quotienten-Regel meinst:

von deinen drei Angeboten ist nur der mittlere Bruch richtig :

\to f' (x) = 4 \cdot \frac{x^{2} - 3 x + 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}

die beiden anderen Angebote sind unbrauchbar falsch...

\to

und Ma-Ma wird dir gerne auch noch sagen, auf welcher
Klassenstufe du lernen kannst, wie "Kürzen" funktioniert..

.

hdph1 aktiv_icon

22:49 Uhr, 03.09.2015

Es geht mir um den Satz:
"IMMER im Zähler die Klammer des Nenners ausklammern und wegkürzen kann"

Wie wende ich das an?

-Wolfgang-

23:39 Uhr, 03.09.2015

Wenn Du jetzt für die 2. Ableitung noch einmal die Quotientenregel anwendest, kannst du anschließend die Klammer

(x^{2} - 4)

im Zähler einmal ausklammern und wegkürzen.

(Bevor du im Zähler ausmultiplizierst und zusammenfasst)

f"(x)=

4 \cdot \frac{(2 x - 3) \cdot {(x^{2} - 4)}^{2} - (x^{2} - 3 x + 4) \cdot 2 \cdot (x^{2} - 4) \cdot 2 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}} [v'

mit Kettenregel!

]

= 4 \cdot \frac{(2 x - 3) \cdot (x^{2} - 4) - (x^{2} - 3 x + 4) \cdot 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}

dann sieht der Zähler doch schon besser aus!

W

hdph1 aktiv_icon

15:29 Uhr, 04.09.2015

In der zweiten Zeile von dir, das erste

(x^{2} - 4)

Also mein v ist in der Quotientenregel

(x^{2} - 4)

und nicht

(x^{2} - 4)^{2}

Heißt also, mein v ist das u der Kettenregel (hoffe habe mich richtig ausgedrückt :-)), richtig?
Könnte ich

(x^{2} - 4)

auch nicht mit dem Nenner wegkürzen und den Nenner um eine Potenz vermindern?

-Wolfgang-

16:18 Uhr, 04.09.2015

Bei der ZWEITEN Ableitung ist

v = {(x^{2} - 4)}^{2},

weil DAS im Nenner der ersten Ableitung steht.

W

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16:25 Uhr, 04.09.2015

Bei der zweiten Ableitung, 2. Zeile hast du ja die Potenz ^2 weggelassen, darum geht es mir.
Ich habe es jetzt so gemacht, wie du es mir gezeigt hast, komme auch auf die richtigen Ableitungen.
Wie bereits gefragt, ich kann das erste

(x^{2} - 4)

nicht mit dem Nenner kürzen, richtig?

Und mal ne Frage nebenbei, die Funktion hat keine Extrema, liege ich da richtig?

Die Ableitungen werde ich hier gleich hochladen

-Wolfgang-

16:29 Uhr, 04.09.2015

Du musst dir vorstellen, dass du

(x^{2} - 4)

ausklammerst und dann oben und unten 1-mal wegkürzt.

Beim Ausklammern wird dann oben vorn im 1. Summanden aus

{(x^{2} - 4)}^{2}

eben

(x^{2} - 4)

Ja, die Funktion hat keine Extrema.

Nach dem Zusammenfassen solltest du

f"(x)=

4 \cdot \frac{2 x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 12}{{(x^{2} - 4)}^{3}}

erhalten.

W

hdph1 aktiv_icon

11:42 Uhr, 05.09.2015

Sorry, ich bin gerade schwer von Begriff.
Ich habe das jetzt mal markiert um das genau zu verdeutlichen.
Liege ich überhaupt in meiner Annahme richtig, mit dem was ich markiert habe.

Roman-22

14:34 Uhr, 05.09.2015

So kann man das lieber nicht verdeutlichen. Du weißt doch sicher, dass man aus Differenz und Summen nicht kürzen darf und du hast aber im Zähler eine Differenz stehen. Außerdem würde sich ja dann die Frage stellen, wo in dem umrandeten Ausdruck das Quadrat hin verschwunden ist.

Formal kannst du so vorgehen:

1)

Erst klammerst du im Zähler

(x^{2} - 4)

einmal aus

2)

Da du jetzt ein Produkt hast, kannst du das eben ausgeklammerte

(x^{2} - 4)

kürzen.

Vereinfacht dargestellt:

\frac{A \cdot {(x^{2} - 4)}^{2} - B \cdot (x^{2} - 4) \cdot C}{{(x^{2} - 4)}^{4}} = \frac{(x^{2} - 4) \cdot [A \cdot (x^{2} - 4) - B \cdot C]}{{(x^{2} - 4)}^{4}} = \frac{A \cdot (x^{2} - 4) - B \cdot C}{{(x^{2} - 4)}^{3}}

R

1251651

1251321

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