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Fläche eines Rundkörpers

Universität / Fachhochschule

Tags: Kreis, Tangent

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08:36 Uhr, 27.10.2014

Hallo Leute ich habe folgendes Problem.
Und zwar möchte ich die Fläche eines Tiefgezogenen runden Teils berechnen.
Ich habe eine Form, an der eine abgerundete Formkante(viertel einer Kugel) mit r1=5mm ist der Durchmesser der Form beträgt 62mm. Der Stempel zum Tiefziehen ist eine Halbkugel mit r2=30mm.

Fahre ich nun meinen Stempel 15mm(ist nur ein beispiel habe verschiedene tiefen) tief auf meine Probe, legt sich das Material um den Stempel, ab einem Punkt entsteht eine Tangente welche zu einem Punkt auf dem Radius der Formkante verläuft. Die Beiden Punkte sind immer abhängig davon, wie tief der Stempel auf die Probe gefahren ist.

Ich habe mal eine Skizze angefertigt die mein Problem verdeutlicht. Ich hoffe ihr könnt mir helfen :-)

Lieben Gruß und besten Dank schonmal
Florian

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreise und Lagebeziehungen
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bogenmaß und Gradmaß eines Winkels

Was ist der Unterschied zwischen Bogenmaß und Gradmaß eines Winkels?

Elementare Kreisteile

Wie berechne ich den Flächeninhalt eines Kreissegments und eines Kreissektors?

Flächeninhalt eines Kreisrings

Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Kreisrings?

Kreis - Umfang und Inhalt

Wie berechne ich den Umfang und Flächeninhalt eines Kreises?

Kreiszahl Pi

Für was steht die Zahl

π

und was bringt sie mir?

anonymous

12:51 Uhr, 29.10.2014

Hallo
Ich habe dir mal eine 'bessere' Skizze zur Verfügung gestellt.
Aus deinen Angaben wage ich zu erahnen, dass sich der Körper zusammenstellt, aus

a)

dem Torus-förmigen Teil zwischen

A - B,

b)

dem Kegel-förmigen Teil zwischen

B - C,

c)

dem Kugel-förmigen Teil zwischen

C - D

.

Wenn du diesem Ansatz folgen willst,
dann wirst du die Winkel ausrechnen wollen oder müssen, unter denen

d)

in Punkt

B

der Torus in einen Kegel übergeht,

e)

in Punkt

C

der Kegel in eine Kugel übergeht.

Beide Winkel sind natürlich gleich.
Und beiden Winkeln gemeinsam ist, dass hier die Dinge tangential ineinander übergehen.
Und du wirst die Blechdicke mit berücksichtigen müssen.

So weit so klar?
Viel Spaß!
Oder melde dich nochmals, wenn du dich noch unverstanden fühlst.

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13:16 Uhr, 29.10.2014

Hey Cositan, danke für deine Antwort!
Ja es hilft mir vom verständnis ein wenig! Allerdings stehe ich mit meinem Lösungsansatz weiterhin auf dem Schlauch!
Deine Skizze ist jedenfalls schon mal gut, so in der Art habe ich mir das ganze auch schon gedacht. Jedoch fehlt mir aktuell das Mathematische verständnis mein Problem zu lösen...

Wäre also nett wenn du mir hilfestellung leisten könntest wie ich am besten vorgehen sollte!

liebe grüße Florian

anonymous

17:29 Uhr, 29.10.2014

sei:

R

der Radius der großen Kugel (Tiefziehstempel)

r

der Radius des Matrizen-Torus (siehe Skizze)

t

die Blechdicke

k

der Abstand gemäß Skizze

y

die Eindringtiefe gemäß Skizze

α

der Winkel gemäß Skizze

Dann gilt:
Nenner=

{(R + r - y)}^{2} + k^{2}

p =

(R+r+t)*(R+r-y)/Nenner

q = ({(R + r + t)}^{2} -

k^2)/Nenner

0 = {cos}^{2} (α) - 2 \cdot p \cdot cos (α) + q

und folglich:

cos (α) = p + \sqrt{p^{2} - q}

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14:07 Uhr, 05.11.2014

Hey danke also so wie ich das verstehe berechne ich den Winkel und kann dann die Punkte auf dem Radius bestimmen?

Mein Problem liegt nun allerdings darin das ich nicht weiß wie ich auf die gesamte Fläche komme...

Mein Fläche setzt sich ja aus der Tangente und die auflage fläche der Radien zusammen. Das ganze muss ich dann rotieren lassen das ich meinen kompletten Rundkörper bekomme...

Sorry bin mit der Aufgabe ein wenig überfordert!

anonymous

13:00 Uhr, 06.11.2014

Welche Fläche willst du denn berechnen?
Du müsstest schon genauer definieren...
Auf jeden Fall hilfreich ist:
Die Fläche eines Rotationskörpers ist gleich der Länge der Sehne in der Projektionsebene mal der Länge des Umfangskreises, die der Schwerpunkt der Sehne beschreibt.
Ich hoffe, ich habe das einigermaßen treffend in Worte gefasst.
Sonst: Hier handelt es sich vermutlich einfach nur um

>

Kugel

>

Kegel

>

Torus.
Deren Formel findest du in Formelsammlung und Internet.

anonymous

23:33 Uhr, 06.11.2014

PS:
Für die Kugelfläche, präziser für die Berührfläche des Blechs mit der roten Kugel zwischen

C

und

D

gilt:

A = 2 \cdot π \cdot R^{2} \cdot (1 - cos (α))

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08:46 Uhr, 07.11.2014

Guten Morgen, ich weiß nicht wie ich dir Danken kann...

Also ich hab vorher noch ein paar Fragen

in der Gleichung: Nenner= (R+r−y)2+k2
ist dort der Nenner x?

was sagen mir die Punkte

p

und

q

Für die Fläche zwischen Punkt A und

B

ist die Formel A=(2⋅π⋅R2⋅(1−cos(α)))/2
So jetzt kommt ja noch die Fläche der Tangente zwischen

B

und

C

dazu. Leider fehlt mir gerade hier der Ansatz um auf die Fläche zu kommen...

also Ages=A(AB)+A(BC)+A(CD)

das ganze ist allerdings ein Rundkörper!
Also müsste ich Ages rotieren lassen oder nicht?

anonymous

09:49 Uhr, 07.11.2014

Hallo
Also ich hab vorher schon eine Frage gestellt.

a)

Welche Fläche willst du denn nun rechnen?
Vielleicht kämen wir schlüssiger voran, wenn du dich mal klar erklären würdest.
"also A_ges = A(AB)

+

A(BC)

+

A(CD)"
Darf ich daraus schließen, dass du irgendwie eine Oberfläche von Torus, Kegel und Kugelteil berechnen willst?
Wenn ja, welche Fläche? konkret:

a . 1)

in meiner Skizze die Oberfläche an der Blech-Unterseite innerhalb von Punkt A? (also die dem Torus zugewandte Seite?)

a . 2)

in meiner Skizze die Oberfläche an der Blech-Oberseite innerhalb von Punkt A? (also die der Kugel zugewandte Seite?)

a . 3)

oder die imaginäre Oberfläche der Mittelfläche zwischen diesen beiden beschriebenen Flächen?

a . 4)

oder kommt es dir auf den Unterschied gar nicht so genau an, weil dies so wie so nur eine überschlägige Pragmatikerrechnung ist?

Jetzt zu deinen Rückfragen:

b)

"in der Gleichung: Nenner:..., ist dort der Nenner x?"
Die Größe "X" ist bisher noch nirgends beschrieben. Ich habe keine Ahnung, was du unter

' x'

verstehst.

c)

"Was sagen mir die Punkte

p

und

q

" ?

p

und

q

waren einfach Substitutionen, wie sie für die Formulierung der gemischt quadratischen Gleichung sinnvoll waren.

d)

"Für die Formel zwischen A und

B

ist die Formel

A = \frac{2 \cdot π \cdot R^{2} (1 - cos (α))}{2}

>

Meinst du wirklich den Torus zwischen A und

B

>

Wie kommst du auf diese Formel?

>

Wie kommst du auf den Faktor

\frac{1}{2}

>

Die Formel erscheint mir mehr als suspekt, da ja im Torus der große Radius

R

gar keine Geometriegröße ist, und der Radius

r

doch sicherlich eine Rolle spielt.

e)

"... die Fläche der Tangente zwischen

B

und C..."
dürfte wie gesagt ein Kegel, präziser ein Kegelstumpf sein.
Die Formelsammlung sagt, die Mantelfläche von Kegelstümpfen der Dimensionen gemäß Skizze beträgt:

A = π \cdot s \cdot (G + k)

f)

"das ganze ist allerdings ein Rundkörper!"
Ja, davon sprechen wir die ganze Zeit.

g)

"Also müsste ich A_ges rotieren lassen, oder nicht?"
Die von mir benannte Kugelfläche ist schon die KugelFLÄCHE.
Die von mir benannte Kegelstumpfmantelfläche ist schon die KegelmantelFLÄCHE.
Also ist da nix mehr, was man rotieren müsste, um eine Fläche zu berechnen.

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10:55 Uhr, 07.11.2014

Hey, danke für deine Geduld!!!!!!!

A)

Also ja ich möchte eine Oberfläche von Torus, Kegel und Kugelteil berechnen.

Und zwar genau diese:

a . 1)

in meiner Skizze die Oberfläche an der Blech-Unterseite innerhalb von Punkt A? (also die dem Torus zugewandte Seite?)

B)Was sagt mir der Nenner? Das habe ich noch nicht genau verstanden... Könnte man dort auch als Bezeichnung eine einfache Substitution geben?

D)

Sorry meinte natürlich

r

anstatt R.
Der Faktor

\frac{1}{2},

da es sich ja um ein Kugelteil handelt. Oder liege ich hier falsch?

E)

Achso danke! Das habe ich soweit verstanden. Wie komme ich allerdings auf die größen

s, k

und G?

s

wird ja die länge der Seite von Punkt

B

C

sein

k

der mittelpunkt einer Geraden zwischen

C

und

D

G

Mittelpunkt zwischen (B+Blechdicke)und dem Mittelpunkt des Tiefziehstempels

F

und

G)

Danke ist ja logisch... :-)

anonymous

00:28 Uhr, 08.11.2014

a)

Sehr gut, jetzt weiss ich endlich, was du willst.
Eine Detailfrage am Rande: Warum nutzt du Fragezeichen, wenn du endlich eine Aussage tätigst?

zu

b)

Ich verstehe den Nenner tatsächlich als Substitution, die sich einfach aus der Rechnung so sinnvoll ergeben hat.
Vielleicht kann man die Größe auch geometrisch deuten. Mir ist dazu aber noch nichts aufgefallen.

zu

d)

"...da es sich ja um ein Kugelteil handelt."
Nein, es handelt sich nicht um ein Kugelteil. Es handelt sich um einen Torus.
"Der Faktor 1/2"
Selbst wenn es sich um ein Kugelteil handelte, handelt es sich um eine Halbkugel? Nein. Handelt es sich um einen Halb-Torus? Nein.
Also der Faktor

\frac{1}{2}

ist nicht mehr als unverständlich.

zu

e)

"Wie komme ich zu den Größen

s, k

und G?"
Indem du die Skizze betrachtest, und elementare Grundlagen der Geometrie nutzt.

s = \frac{k - r \cdot sin (α) - (R + t) \cdot sin (α)}{cos (α)}

k = (R + t) \cdot sin (α)

G = k - r \cdot sin (α)

h)

Ich habe dir noch die Fläche des Torusteils zwischen A und

B

hergeleitet:

A = 2 \cdot π \cdot r \cdot [k \cdot α - r + r \cdot cos (α)]

i)

Zum Kugelteil:
Achtung: Da du die (Blech-) Unterseite berechnen willst, gilt folgerichtig für die Kugelteilfläche zwischen

C

und

D :

A = 2 \cdot π \cdot {(R + t)}^{2}

*(1−cos(alpha))

Damit solltest du alles haben.
Viel Erfolg!

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09:05 Uhr, 10.11.2014

Guten Morgen, ich habe soweit mal alles nachgerechnet

R = 30

r = 5

t = 0,6

k = 36

y = 15

Bei der berechnung komme ich auf

α = 30,83

Möchte ich nun die Fläche A und

B

mit der Formel

A = 2 \cdot π \cdot r \cdot (k \cdot α - r + r \cdot cos (α))

berechnen komme ich auf einen Wert von

A = 34845,71

was mir ein wenig viel vorkommt...
Kann es sein das ich für

A = 2 \cdot π \cdot r \cdot (k \cdot cos (α) - r + r \cdot cos (α))

rechnen muss?
So würde auf

A = 958,96

kommen was mir im bezug auf die anderen Ergebnisse realistischer vorkommt!
Würdest du mir auch für mein Verständnis erklären wie du dir diese Formel hergeleitet hast?

Für die Fläche

B

und

C

A = 3135,04

Fläche

C

und

D

A = 831,36

anonymous

13:07 Uhr, 10.11.2014

Hallo
Vermutlich gilt:

R = 30

r = 5

t = 0.6

k = 36

y = 15

mm

Mit diesen Größen komme ich auf

α = 0.536945681

rad = 30.765°

In die Formel für die Torusfläche musst du den Winkel natürlich in mathematischen Einheiten eingeben, also in rad

! (α = 0.536945681

rad)

Und mit diesem Winkel

α

wiederum komme ich auf:

a)

Torusfläche zwischen A und

B :

A = 585.166

mm²

b)

Kegelfläche zwischen

B

und

C :

A = 3193.238

mm²

c)

Kugelfläche zwischen

C

und

D :

A = 827.931

mm²

Die Herleitung der Torusfläche:

A = \int_{0}^{α} (r \cdot d φ) \cdot (2 \cdot π \cdot (k - r \cdot sin (φ)))

Zur Erklärung:

(r \cdot d φ)

ist die Länge des infinitesimalen Flächestücks hier in der Abbildung (rot dargestellt).

k - r \cdot sin (φ)

ist der Abstand dieses Flächenstücks von der Rotationsachse.

2 \cdot π \cdot (k - r \cdot sin (φ))

ist der Umfang des Umlaufweges dieses Flächenstücks bei Rotation um die Achse.
(In anderen Worten: so kann man sich die infinitesimale Fläche als Kreisring vorstellen.)

anonymous

13:13 Uhr, 10.11.2014

Und der Vollständigkeit halber:

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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1193928

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