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Nullstellen einer allgemeinen Sinusfunktion

Schüler

Tags: Nullstellen

sunworshipper aktiv_icon

22:27 Uhr, 17.05.2012

Hallo,
habe ein Problem mit der Berechnung der Nullstellen folgender Funktion:

y =

2sin(3x

- π) - 1

meine erste Nullstelle wäre

x = \frac{π}{3} + k \frac{π}{3}

ist das korrekt?
Die Periodenlänge ist

2 \frac{π}{3}, d

h

. die Nullstellen sind periodisch mit

2 \frac{π}{3}

?
stimmt das?
Wie komme ich aber zur zweiten Nullstelle?
Irgendwie steh ich da voll an.
kann mir da wer helfen?
danke im voraus.
lg

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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Nullstellen
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Matlog aktiv_icon

22:45 Uhr, 17.05.2012

Grundsätzlich:
Wenn Du den einen Typ Lösung

x

hast von

sin (x) = t

(mit

t

zwischen

- 1

und

1),

dann bekommst Du den anderen Typ über

sin (π - x) = t

.
Also kurz: zum einen Typ

x

gehört der andere Typ

π - x

.

Allerdings kann ich Deine erste Lösung schon nicht nachvollziehen. Ich befürchte, Du hast den Faktor 2 vor dem sin übersehen (und das -1)?!

sunworshipper aktiv_icon

23:13 Uhr, 17.05.2012

ich hab das mit substitution versucht zu lösen.
habe

(3 x - π) = z

angenommen und dann gerechnet

sin z = \frac{1}{2}

für

z

eingesetzt und nach

x

umgeformt.
so kam ich zu der lösung, die anscheinend
falsch ist.

Matlog aktiv_icon

23:39 Uhr, 17.05.2012

Das ist ja vollkommen richtig so!
Aber wie hast Du denn

sin (z) = \frac{1}{2}

gelöst?

Matlog aktiv_icon

23:59 Uhr, 17.05.2012

Also ich bekomme da

z = \frac{1}{6} \cdot π (+ k \cdot 2 π)

als ersten Typ und dann

z = π - \frac{1}{6} \cdot π = \frac{5}{6} \cdot π (+ k \cdot 2 π)

als zweiten Typ.

sunworshipper aktiv_icon

00:12 Uhr, 18.05.2012

dann muss ich wohl einen denk-/anfängerfehler bei der umformung gemacht haben.
ich hab so gerechnet:

sin z = \frac{1}{2}

z = \frac{1}{2} + k \cdot π

3 x - π = \frac{1}{2} + k \cdot π

umgeformt

+ π

umgeformt

/ 3

x = 3 \frac{π}{6} + k \cdot \frac{π}{3}

x = \frac{π}{2} + k \cdot \frac{π}{3}

hab mich vorher beim ergebnis vertippt. sorry - auch wenns trotzdem falsch ist.
auf das ergebnis / die erkenntnis kam ich durch ein video, das ich im netz gefunden hab, da ich nicht wusste, wie ich das ganze angehen soll.
irgendwo muss ich da wohl eine mächtigen anfängerfehler eingebaut haben.
lg

aleph-math aktiv_icon

04:01 Uhr, 18.05.2012

g. Morgen!

Ich fürchte, da ist tats. ein Fehler passiert. Die Substit. ist richtig, die Lösung leider nicht.
Bei welchem Argum. ist der Sinus 1/2? ... Richtig, Bei z=30° =

π

/6 ("typ 1") bzw. z'=

π

-z=150° = 5

π

/6! Das gibt dann:

\sin (3 x - π) = 0.5 \Rightarrow 3 x - π = π / 6 \Rightarrow x = \frac{π + π / 6}{3} = \frac{7 π}{18} (+ 2 k π)

; (I. Quadrant bzw. "Typ 1") sowie

\Rightarrow 3 x - π = 5 π / 6 \Rightarrow x = \frac{π + 5 π / 6}{3} = \frac{11 π}{18} (+ 2 k π)

; (II. Quadrant bzw. "Typ 2").

Hoffe, das war nicht zu schnell. Viel Erfolg!

Matlog aktiv_icon

09:46 Uhr, 18.05.2012

Kleine Ergänzung:
"+2k

π

" gilt natürlich nur bei

z

. Beim Rücksubstituierten

x

muss es "+2/3

k π

" heißen!
Die Notwendigkeit der Periodenanpassung hatte sunworshipper ja aber schon selbst erkannt.

sunworshipper aktiv_icon

22:30 Uhr, 18.05.2012

danke für die hilfe, hat mir sehr geholfen.
die info, die ich ursprünglich im www gefunden habe, war augenscheinlich falsch.
nochmals danke.
schönes wochenende.
lg

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