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Ableitung an bestimmten Stellen berechnen

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Differenzenquotient, Grenzwert, momentane Änderungsrate

 
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sophie1501

sophie1501 aktiv_icon

22:20 Uhr, 23.11.2015

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Hallo, wir haben seit kurzem das Thema Differenzenquotient und momentane Änderungsraten in Mathe und ich verstehe nur Bahnhof. Ich soll mit der Formel f(x+h)-f(x)h den Wert von h→0 berechnen, nur weiß ich nicht wofür das gut ist.
Meine Lehrerin hat uns das auch nur ganz kurz erklärt, nur soviel, dass wir jetzt auch die Steigung an eine bestimmten Punkt berechnen können und hat dabei den Begriff "Grenzwert" benutzt, ohne diesen weiter zu erklären.

Meine Fragen sind:
- Was genau berechne ich mit der Formel?
- Was ist ein Grenzwert und wozu ist er gut?
- Wie kann ich die Steigung an nur einem Punkt berechnen? Brauche ich da nicht immer mindestens zwei Punkte?

Schnelle Antworten wären sehr lieb, da ich schon bald die Klausur zu dem Thema schreibe.

Danke im Vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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11235

11235 aktiv_icon

00:14 Uhr, 24.11.2015

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Hallo,
ich finde, dass die Thematik in dem Artikel www.mathebibel.de/h-methode ganz gut erklärt ist.
Antwort
Ginso

Ginso aktiv_icon

10:09 Uhr, 24.11.2015

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Also bisher kennst du nur Steigungen von geraden. Diese berechnest anhand zweier beliebiger Punkte auf dieser Gerade mit ΔyΔx.
Bei einer Kurve ändert sich die Steigung jedoch von Punkt zu Punkt, d.h. wir können keine Steigung für die ganze Kurve angeben sondern nur die einzelner Punkte.
Diese entspricht jeweils der Steigung der Tangente an diesem Punkt. Die Tangente hat den Vorteil, dass sie eindeutig ist und eine Gerade.
Wie können wir jetzt die Tangente , die den Graphen von f im Punkt (x,f(x)) berührt, berechnen?
nun schauen wir uns für ein beliebiges h mal die Sekante sh an, die f in x und x+h schneidet. Dies ist die Gerade die durch (x,f(x)) und (x+h,f(x+h)) geht und hat folglich die Steigung f(x+h)-f(x)x+h-x=f(x+h)-f(x)h
Wenn wir jetzt das h gegen 0 laufen lassen geht x+h gegen x und folglich rückt der 2. Punkt immer näher gegen den ersten. Somit nähert sich sh immer mehr der Tangete an. Deshalb geht die Steigung von sh für h→0 gegen die Steigung der Tangente.

Also zu deiner 3. Frage: du hast 2 Punkte und du schaust dir das Verhalten an, wenn diese beiden Punkte immer näher zusammenrücken.

zu deiner 2. Frage: du kannst bei dem Qutienten ja nicht einfach h=0 setzen, denn sonst hast du 00 und das ist nicht definiert. Allerdings nähert sich der Bruch meistens einem bestimmten Wert an, d.h. der Abstand zu diesem Wert wird immer kleiner wenn h gegen 0 geht und er kommt beliebig nah an diesen Wert ran. Dieser Wert ist dann der Grenzwert. Schau dir zb den Bruch h2+4hh an.
Hier kannst du nicht h=0 einsetzen, weil der Brauch dafür nicht definiert ist.
Alle anderen Zahlen kannst jedoch für h einsetzen. Wenn wir also davon ausgehen, dass h≠0 ist, können wir das h kürzen und erhalten h+4. Hier sehen wir ganz eindeutig, dass dieser Term gegen 4 geht, wenn h gegen 0 geht.
Frage beantwortet
sophie1501

sophie1501 aktiv_icon

16:06 Uhr, 27.11.2015

Antworten
Danke an euch beide, ich denke, dass ich das jetzt verstanden habe :-)