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Ableitung x^x*cos(x)

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitungsregeln, ln

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20:21 Uhr, 04.03.2011

Hallo Leute, möchte folgende Funktion ableiten:

g (x) = x^{x \cdot cos (x)}

.

Kenne schon den Ansatz:

a^{b} = e^{c \cdot b}

Habe also folgendes gemacht:

1) x^{x \cdot cos (x)} = e^{c \cdot x \cdot cos} | ln

2) ln (x^{x \cdot cos (x)}) = c \cdot x \cdot cos (x)

3) x \cdot cos (x) \cdot ln (x) = c \cdot x \cdot cos (x) | : x \cdot cos (x)

4) ln (x) = c

Danach habe ich

c

in die Funktion eingesetzt und habe somit

e^{ln (x) \cdot x \cdot cos (x)}

Habe nun ein Problem bei der Ableitung von

ln (x) \cdot x \cdot cos (x),

weiß leider nicht wie ich die Produktregel auf den Term anwenden kann. Dass

e^{x}' = e^{x}

ist weiß ich schon.

Vielen Dank im Voraus! ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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Bummerang

20:31 Uhr, 04.03.2011

Hallo,

entweder kennt man die Regel für das Ableiten von Produkten mit 3 Faktoren oder man leitet sie sich her. Dazu klammert man zunächst mal zwei Faktoren ein. Dann leitet man den restlichen Faktor und die Klammer als Ganzes ab nach der Regel für 2 Faktoren. Dabei gibt es einen Faktor im Ergebnis, der die Ableitung des Klammerinhalts darstellt. Da der Klammerinhalt aus 2 Faktoren besteht, kann man die Regel für 2 Faktoren erneut auf den Klammerinhalt anwenden. Probiere es mal...

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20:42 Uhr, 04.03.2011

Mal ne dumme Frage, wie kann ich das ganze ausklammern?

ln (x) \cdot x \cdot cos (x)

ist nicht das gleiche wie

x \cdot (ln (x) \cdot cos (x))

oder? Welche Regel gibt es denn für Ableitungen mit drei Faktoren?

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20:49 Uhr, 04.03.2011

Habe jetzt folgendes versucht:

ln (x) \cdot x \cdot cos (x) = ln (x) \cdot (x \cdot cos (x))

Und dann folgendermaßen abgeleitet:

u = ln (x) v = x \cdot cos (x)

Produktregel:

\frac{1}{x} \cdot x \cdot cos (x) + [(cos (x) - sin (x) \cdot x \cdot ln (x)]

= cos (x) + [cos (x) - sin (x) \cdot ln (x)]

Und somit die Ableitung von

x^{x \cdot cos (x)} =

cos (x) + [cos (x) - sin (x) \cdot ln (x)] \cdot e^{ln (x) \cdot x \cdot cos (x)}

Stimmt das so?

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20:49 Uhr, 04.03.2011

Habe jetzt folgendes versucht:

ln (x) \cdot x \cdot cos (x) = ln (x) \cdot (x \cdot cos (x))

Und dann folgendermaßen abgeleitet:

u = ln (x) v = x \cdot cos (x)

Produktregel:

\frac{1}{x} \cdot x \cdot cos (x) + [(cos (x) - sin (x) \cdot x \cdot ln (x)]

= cos (x) + [cos (x) - sin (x) \cdot ln (x)]

Und somit die Ableitung von

x^{x \cdot cos (x)} =

cos (x) + [cos (x) - sin (x) \cdot ln (x)] \cdot e^{ln (x) \cdot x \cdot cos (x)}

Stimmt das so?

NW90a aktiv_icon

20:51 Uhr, 04.03.2011

Die Produktregel lässt sich für beliebig viele Faktoren anwenden, wobei immer ein Faktor abgeleitet und mit allen anderen multipliziert wird. Dies wird einmal für jeden Faktor durchgeführt und alle Produkte zusammenaddiert:

für 2 Faktoren:

u' \cdot v + u \cdot v'

für 3 Faktoren:

u' \cdot v \cdot w + u \cdot v' \cdot w + u \cdot v \cdot w'

für 4 Faktoren:

t' \cdot u \cdot v \cdot w + t \cdot u' \cdot v \cdot w + t \cdot u \cdot v' \cdot w + t \cdot u \cdot v \cdot w'

usw.

Bummerang

20:57 Uhr, 04.03.2011

Hallo,

"Mal ne dumme Frage, wie kann ich das ganze ausklammern?" - gar nicht, weil ich "klammert man

. .

. ein" geschrieben hatte.

"ln(x)⋅x⋅cos(x) ist nicht das gleiche wie x⋅(ln(x)⋅cos(x)) oder?" - also das sollte man eigentlich wissen, dass das das selbe ist...

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21:04 Uhr, 04.03.2011

Ist meine Lösung richtig?

Ich habe nach NW90a gerechnet und habe raus:

(\frac{1}{x} \cdot x \cdot cos (x) + ln (x) \cdot cos (x) - ln (x) \cdot x \cdot sin (x)) \cdot e^{ln (x)} \cdot x \cdot cos (x)

Kann man das hier einklammern / ausklammern was auch immer ?

Oder die andere Variante:

u=ln(x)v=x⋅cos(x)

Produktregel:

1x⋅x⋅cos(x)+

[

(cos(x)−sin(x)⋅x⋅ln(x)]

=cos(x)+

[

cos(x)−sin(x)⋅ln(x)]

Und somit die Ableitung von xx⋅cos(x)=

cos(x)+

[

cos(x)−sin(x)⋅ln(x)]⋅eln(x)⋅x⋅cos(x)

Bummerang

21:06 Uhr, 04.03.2011

Hallo,

wenn Du den Exponenten von

e

noch in Klammern packst, dann steht es hier einigermaßen richtig. Natürlich sollte man am Ende die Umformung von

x^{x \cdot cos (x)}

in eine e-Funktion wieder rückgängig machen!

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21:12 Uhr, 04.03.2011

Und wie forme ich das ganze in die ursprüngliche Form

x^{x} ... .

. ?

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21:27 Uhr, 04.03.2011

Irgendwie kriege ich nie zu meiner letzten Frage eine Antwort...

Bummerang

09:39 Uhr, 05.03.2011

Hallo,

"Irgendwie kriege ich nie zu meiner letzten Frage eine Antwort..."

So etwas nach nur

15

Minuten zu schreiben, ist in einem Forum, wo Du einen nicht so kleinen Monatsbeitrag dafür bezahlst, dass Du innerhalb einer Viertelstunde eine qualifizierte Antwort erhältst, vielleicht sinnvoll. In einem Forum mit KOSTENLOSER Hilfe durch Menschen, die hier ihre Freizeit ohne jeden finanziellen Gegenwert opfern, aber eher abschreckend!

"Und wie forme ich das ganze in die ursprüngliche Form

x^{x} ... .

. ?"

Du solltest

x^{x ...}

ableiten, Du hast es dazu umgeformt und diesen umgeformten Term abgeleitet. Was glaubst Du, warum Du einen anders aussehenden Term ableiten durftest und das Ergebnis auch die Ableitung von

x^{x ...}

darstellt? Denke in diesem Zusammenhang bitte mal darüber nach, was Gleichheit bedeutet, vielleicht taugt die ja nicht nur in einer Richtung zur Substitution, vielleicht taugt die ja auch in der anderen Richtung!

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