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Asymptote und Limes

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Asymptote, Grenzwert, lim

Mathe--- aktiv_icon

17:06 Uhr, 10.01.2012

giil

Hallo,

Ich soll eine Kurvendiskussion durchführen und bin bei den Grenzwerten hängen geblieben. Die Funtion lautet :

f (x) = 4 (x^{2} - 1) \cdot e^{- x}

Ich weiß jetzt nicht wie ich die Asymptote bestimmen muss.
(Laut "Kurvendiskussion online" kommt

y = 0

raus, aber ich weiß nicht, wie man auf dieses Ergebnis kommt)

Bei dem Limes kommt als Ergebnis

lim 4 (x^{2} - 1) \cdot e^{- x} = 0

x \to \infty

und

lim 4 (x^{2} - 1) \cdot e^{- x} = \infty

x \to - \infty

ich verstehe nicht, wie man auf die beiden Ergebnisse kommt. Bei dem 2. hab ich auch

\infty

als Ergebnis, weil der erste Term immer positiv ist wegen

x^{2}

. Und

e

kann nie 0 und nie negativ werden, oder?
Und so würde ich das bei der ersten Aufgabe auch begründen und behaupten, dass das Ergebnis ebenfalls

\infty

ist. Aber laut "Kurvendiskussion online" muss da 0 raus kommen...

Ich bitte um Hilfe

Vielen Dank im Voraus

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Asymptote (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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Mathe--- aktiv_icon

17:22 Uhr, 10.01.2012

Das mit Limes hab ich verstanden. Jetzt fehlt nur noch die Asymptote..

pwmeyer aktiv_icon

18:16 Uhr, 10.01.2012

Hallo,

eine Asymptote für

x \to \infty

ist eine Gerade

g (x)

mit:

f (x) - g (x) \to 0

für

x \to \infty

Wenn der Grenzwert von

f

für

x \to \infty

gleich 0 ist, dann kann man eben

g (x) = 0

nehmen.

Gruß pwm

Mathe--- aktiv_icon

18:47 Uhr, 10.01.2012

gilt für die Asymptote immer

f (x) - g (x)

?

was ist denn

g (x)

?

und ich verstehe auch nicht warum man für

g (x) = 0

nehmen kann...

Underfaker aktiv_icon

18:59 Uhr, 10.01.2012

Asymptote heißt dein Funktinnsgraph nähert sich für immer größer oder kleiner werdende

x

eine Gerade also einem Wert an.

In deiner Funktion nähert sich der Graph der 0 an das heißt im Prinzip der x-Achse diese Gerade würde man mit

g (x) = 0

beschreiben.

Wieso ?

Dazu musst du die Eigenschaften der Exponentialfunktion kennen, die Exponentialfunktion wird nie! 0 oder negativ sondern ist immer positiv.
Für

e^{x} :

Für

x \to \infty

wächst sie sehr stark an und geht gegen unendlich
für

x \to - \infty

geht sie gegen = (wird aber nicht

0,

nähert sich diesem Wert aber an.

Dein erster Faktor geht immer gegen

+ \infty

und dein zweiter eben einmal gegen

+ \infty

und einmal gegen 0

Du musst dir nur überlegen, dass du

e^{- x}

da stehen hast. das heißt dein

x \to + \infty \Rightarrow e^{- x} \to 0

weil der Exponent immer negativer wird. immer negativer wird, und dann eben noch der andere Fall.

Dann weißt du informell darggestellt:

+ \infty \cdot 0 = 0

Da ein Faktor gegen 0 geht , geht das gesamte gegen 0.

Und für den anderen Fall geht beides gegen

+ \infty

und entsprechend das gesamte auch

Mathe--- aktiv_icon

19:51 Uhr, 10.01.2012

giil

Ach soooo, jetzt hab ich das mit der Asymptote verstanden...

Muss ich dann immer zuerst den Limes berechnen, um auf die Asymptote zu kommen?

Und ist es im Allgemeinen so, dass wenn der Limes von

z . B

x \to + \infty

eine Zahl ist, dann ist das auch die Asymptote?

Wie würde die Asymptote lauten, wenn bei

lim x \to \pm \infty = \infty

rauskäme?

Underfaker aktiv_icon

19:54 Uhr, 10.01.2012

Ja wenn es gegen einen Wert konvergiert dann ist das die Asymptote, wenn es bestimmt divergent gegen

\infty

ist ist das natürlich keine Asymptote

Mathe--- aktiv_icon

19:56 Uhr, 10.01.2012

Kann man dann im Allgemeinen sagen, dass es für die Funktionen, welche divergieren, keine Asymptoten gibt?

Underfaker aktiv_icon

20:08 Uhr, 10.01.2012

zumindetns für das jeweilige Intervall, dein Beispiel divergiert ja auch, besitzt aber dennoch eine Asymptote.

Mathe--- aktiv_icon

20:43 Uhr, 10.01.2012

Gut.
Für meine Aufgabe habe ich es verstanden. Vielen Dank für eure Hilfe

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