Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Bestimmen Sie f' (4)

Bestimmen Sie f' (4)

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Ableitungsfunktion

Differentialquotient

Tags: Ableitungsregeln, Differentialquotient

wieselone aktiv_icon

16:28 Uhr, 20.10.2011

geg:

f (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 3

a)

Bestimme

f' (4)

sowohl mit dem Differentialquotienten als auch mit den Ableitungsregeln

b)

Bestimme die Stellen, an denen die Tangenten an den Graphen der Fkt.

f

parallel ist zur Winkelhalbierenden des II. und IV. Quadranten

meine Frage zu

a)

soll ich hier die 1. Ableitung machen und dann die 4 anstelle von

x

einsetzen und durchrechnen oder wie ist das gemeint ?
stimmt die Ableitung so?

f' (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2} + 8 x + 2

(ist das jetzt mit der Ableitungsregel geschehen?)
falls ja wie funktioniert das mit dem Diff.quotienten?

f (x) - f (x 0) / x - x 0

Für Tipps und Hilfe wäre ich sehr dankbar

Es grüßt freundlich

Jongh

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableiten mit der Kettenregel

Wie leitet man mit der Kettenregel ab?

Wie leitet man verkettete Funktionen ab?

Ableiten mit der Produktregel

Wie leitet man mit der Produktregel ab?

Wie leitet man das Produkt zweier Funktionen ab?

Ableiten mit der Quotientenregel

Wie leitet man mit der Quotientenregel ab?

Wie leitet man den Quotienten zweier Funktionen ab?

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Ableitung einer Polynomfunktion

Wie bestimmt man die Ableitung einer Polynomfunktion?

Ableitung einer Summe zweier Funktionen

Wie bestimmt man die Ableitung einer Summe zweier Funktionen?

Ableitung eines Vielfachen einer Funktion

Wie bestimmt man die Ableitung eines Vielfachen einer Funktion?

Differenzialquotient berechnen

Wie wird der Differenzialquotient berechnet?

funke_61 aktiv_icon

16:39 Uhr, 20.10.2011

Ja, Deine Ableitung

f' (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2} + 8 x + 2

stimmt.
und das ist mit einer "Ableitungsregel" geschehen.

funke_61 aktiv_icon

16:42 Uhr, 20.10.2011

"soll ich hier die 1. Ableitung machen und dann die 4 anstelle von

x

einsetzen und durchrechnen oder wie ist das gemeint ?"

genau: einfach für jedes

x

der Ableizungsfunktion die 4 einsetzen und ausrechnen:

f' (4) = 4 \cdot 4^{3} - 5 \cdot

usw.

Zur Kontrolle:

f' (4) = 50

funke_61 aktiv_icon

16:46 Uhr, 20.10.2011

Mit dem Differentialquotienten sieht das so aus:

f' (4) = lim_{x \to 4} \frac{f (x) - f (4)}{x - 4}

dazu musst Du zuerst

f (4)

bestimmen.
mach das doch mal indem Du für jedes

x

"in

f (x)

die 4 einsetzt.

zur Kontrolle:

f (4) = 5

dann musst Du alles in den Differentialquatienten einsetzen

. .

.
und dann eine Möglichkeit finden, den Nenner, der ja im Grenzübergang zu 0 wird wegzubekommen ;-)
Hast Du dazu eine Idee?

wieselone aktiv_icon

17:18 Uhr, 20.10.2011

also wenn ich das in den Diff.quotienten einsetze:

f' (4) =

limx->4,

x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 3 + 5 / x - 4

okay und dann gehts weiter mit der Polynomdivision oda geht das hier net, lohnt sich die nur bei einer fkt. 3. grades ?

funke_61 aktiv_icon

17:23 Uhr, 20.10.2011

setz bitte Klammern.
daneben musst Du auf dem Bruchstrich hinten die 5 abziehen.

Dann geht es weiter mit der Polynomdivision durch den Nenner

(x - 4)

oder Dir fällt noch was anderes ein, wie Du

(x - 4)

aus dem Zähler als Faktor "rausreissen kannst".
Ich habe es schon ausprobiert, es geht auf.
zur Kontrolle, die Polynomdivision liefert

f' (4) = lim_{x \to 4} (x^{3} - x^{2} + 2)

wieselone aktiv_icon

17:28 Uhr, 20.10.2011

meinst du so:

(x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 3) - 5 / x - 4

und hier jetzt polynomdiv.
mom, ich probiers aus

funke_61 aktiv_icon

17:30 Uhr, 20.10.2011

ja, weisst Du auch warum?
und: wenn Du Klammern setzt, dann ist es lesbarer und wird auch richtig dargestellt.

wieselone aktiv_icon

17:38 Uhr, 20.10.2011

ja da hast du natürlich recht mit den klammern, danke.

ich hab das selbe bei der polynomdiv. raus, jetzt habe ich eine fkt. 3. grades, nun noch eine polynomdiv. damit ich ne quadratische fkt. bekomm oder was wollen die überhaupt haben ?

funke_61 aktiv_icon

17:42 Uhr, 20.10.2011

gut, dass Du fragst.
Jetzt kann man in Zähler und Nenner den Faktor

(x - 4)

kürzen.
damit klappt der Grenzübergang "

lim_{x \to 4}

".
Nun nur noch

x = 4

einsetzen, dann hast Du

f' (4)

auf diesem Weg bestimmt
;-)

wieselone aktiv_icon

17:45 Uhr, 20.10.2011

moment mal, ich hänge, :-)

ich hab jetzt stehen

x^{3} - x^{2} + 2 / x - 4

wo zieh ich da die

(x - 4)

aus dem zähler raus ( bin. Formel?)

funke_61 aktiv_icon

17:51 Uhr, 20.10.2011

nein
Du hast da stehen

\frac{(x^{3} - x^{2} + 2) (x - 4)}{x - 4}

so kann man die

(x - 4)

kürzen (und nur deshalb kann man den Grenzübergang machen, weil so die Null aus dem Nenner verschwindet und damit die "Kuh vom Eis" und das Limesproblem "gelöst ist").
(es kann sein, dass Du diesen Weg intuitiv schon gemacht hast, lass Dich da nicht verwirren!)
dann steht da:

f' (4) = lim_{x \to 4} (x^{3} - x^{2} + 2)

und hier musst Du nur noch

x = 4

einsetzen, dann hast du

f' (4)

auf diesem Weg ermittelt.

wieselone aktiv_icon

17:58 Uhr, 20.10.2011

okay, klingt logisch, nur blick ich nicht warum aufeinmal die

(x - 4)

im zähler mit dabei stehen

also dann guckt das so aus:

f' (4) = lim x \to 4, {(4)}^{3} - {(4)}^{2} + 2

= 50

funke_61 aktiv_icon

18:03 Uhr, 20.10.2011

Durch die Polynomdivision hast Du ja eigentlich nur den Zähler "faktorisiert" und

(x - 4)

"rausgerissen".
Wenn Du im nächsten Schritt die

(x - 4)

im Zähler weglässt, dann musst Du sie gleichzeitig auch im Nenner weglassen, sonst machst Du einen Fehler.

Der Sinn der ganzen Übung besteht ja darin die

(x - 4)

aus dem Nenner rauszukürzen!

Übrigens

f' (4) = 50

stimmt! (siehe Oben)

wieselone aktiv_icon

18:05 Uhr, 20.10.2011

funke

61,

vielen dank, hast mir echt geholfen

!!

jetzt muss ich nur noch die

b)

checken , hast du ein anstaz oder ähnliches für mich, falls nicht, nochmals danke für die hilfe

muss ich da evtl. die fkt. mit der ableitung gleichstellen oder ähnliches ?

funke_61 aktiv_icon

18:13 Uhr, 20.10.2011

b)

Du solltest erkennen, welche STEIGUNG die Winkelhalbierende des II und IV Quadranten hat. (die "Winkelhalbiernde eines Quadranten" ist ja eine Gerade, die durch den Ursprung geht.)
Hast Du eine Idee?

Dann solltest Du beim Ausdruck
"Tangente an den Grafen der Funktion

f (x)

"
sofort erkennen, dass damit nichts anderes als die Ableitung

f' (x)

gemeint ist. Die hast Du selber schon ganz oben richtig angeschrieben.

Und "Bestimme die Stellen" (aus der Aufgabenstellung) klingt nach "Gleichsetzen" der STEIGUNG der Winkelhalbierenden (des II und IV Quadranten) mit der Ableitung der Funktion, also mit

f' (x)

;-)

funke_61 aktiv_icon

18:35 Uhr, 20.10.2011

zur Kontrolle:

b)

an den Stellen

x_{1} = 1

x_{2} = 3

und

x_{3} = - \frac{1}{4}

sind die Tangenten an den Grafen der Funktion

f (x)

parallel zur Winkelhalbierenden des II. und IV. Quadranten.

und tschüss ;-)

wieselone aktiv_icon

19:25 Uhr, 20.10.2011

ich denke die steigung ist 45°
oder muss man die ausrechnen? (y=mx+t?)

Atlantik aktiv_icon

19:41 Uhr, 20.10.2011

Hallo,

die Winkelhalbierende des 2.und 4. Quadranten hat die Steigung

m = - 1

.

mfG

Atlantik

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

wieselone aktiv_icon

20:21 Uhr, 20.10.2011

okay jetzt hab ich zwar die steigung

m,

doch ich brauche ne fkt., oder net?, denn ich soll ja die ableitungsfkt.

f' (x)

mit der steigungsfkt.

(y =

+ t)

gleichsetzen, doch wie krieg ich das

t

raus?

oder lieg ich völlig falsch mit meiner annahme ?

funke_61 aktiv_icon

08:23 Uhr, 21.10.2011

Du schreibst: "steigungsfkt.

(y = m x + t

)" für die Winkelhalbierende.
Die Winkelhalbierende ist aber eine Gerade mit einer KONSTANTEN Steigung

m

.
Die "Steigungsfunktion" einer Geraden ist deshalb nicht

y = m x + t

wie Du schreibst sondern einfach

y' = m

Eventuell hilft Dir diese Überlegung bei der Lösung von Aufgabenteil

b)

Ich würde mich übrigens wirklich sehr freuen, wenn Du mal konzentriert lesen würdest, was ich um

18 : 13

Uhr am

20.10.2011

geschrieben habe:

"Bestimme die Stellen" (aus der Aufgabenstellung) klingt nach "Gleichsetzen" der STEIGUNG der Winkelhalbierenden (des II und IV Quadranten) mit der Ableitung der Funktion, also mit f′(x)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

929177

928935

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?