Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Bestimmen ganzrationaler Funktionen

Bestimmen ganzrationaler Funktionen

Schüler Gymnasium,

Tags: Ganzrationale Funktionen, LGS, Lineares Gleichungssystem

Marian27 aktiv_icon

15:27 Uhr, 08.02.2020

Hallo zusammen,

ich brüte nun schon ewig über meiner Hausaufgabe, habe auch eine Lösung - traue ihr aber nicht ;-).

Die Aufgabenstellung lautet: Untersuchen Sie, ob es ganzrationale Funktionen vom Grad drei gibt, deren Graphen in

W (2 | 0)

einen Wendepunkt haben und die an der Stelle

x = 3

ein Maximum besitzen.

Mein Ansatz lautet wie folgt:

(I)

ganzrationale Funktion vom Grad drei:

f (x) =

ax^3+bx^2+cx+d
(II)

W (2 | 0) : f'' (2) = 0

f (2) = 0

(HB:

f''' (2

)≠

0,

s

.Probe)
(III) Extremstelle bei

x = 3 : f' (3) = 0

(HB:

f'' (3) < 0,

s

.Probe)

Die von mir verwendeten Ableitungen lauten wie folgt:

f' (x) =

3ax^2+2bx+c

f'' (x) =

6ax+2b

f''' (x) = 6 a

Es ergibt sich folgendes LGS:

0 = 12 a + 2 b

0 = 8 a + 4 b + 2 c + d

0 = 27 a + 6 b + c

Gelöst habe ich das mit dem Einsetzungsverfahren:

- Umformen der ersten Gleichung nach

b : - 6 a = b

- Einsetzen von

b = - 6

in die dritte Gleichung:

0 = 27 a + 6 (- 6 a) + c = - 9 a + c,

also

c = 9 a

- Einsetzen von

c = 9 a

und

b = - 6 a

in die zweite Gleichung:

0 = 8 a + 4 (- 6 a) + 2 \cdot 9 a + d = 2 + d,

also

d = - 2

- Einsetzen von

d = - 2

in die zweite Gleichung, Umformen nach

a :

0 = - 16 a + 2 c - 2 | + 16 a; + 2

16 a + 2 = 2 c | : 2

8 a + 1 = c |

Einsetzen von

c = 9 a

8 a + 1 = 9 a | - 8 a

a = 1

- Ermitteln der noch fehlenden Variablen

b

und

c

durch Einsetzen von

a = 1 : b = - 6 a = - 6; c = 9 a = 9

Daraus ergibt sich folgende Funktion:

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 2

Überprüft man anschließend, ob auch die hinreichenden Bedingungen (siehe (II) und (III)) erfüllt sind, stelle ich Folgendes fest:

1)

aus (II):

f''' (2) = 6 a = 6 \to f''' (2)

≠

0 \to

2)

aus (III):

f' (3) = 6 \cdot 1 \cdot 3 + 2 \cdot (- 6) = 6 > 0 \to

Hier liegt ein Minimum und kein Maximum vor!

Folglich müsste meine Antwort nun lauten, dass es keine ganzrationale Funktion vom Grad drei mit Wendepunkt bei

(2 | 0)

und Maximumstelle bei

x = 3

gibt. Allerdings, und nun komme ich zu meiner eigentlichen Frage, bin ich rein intuitiv vom Gegenteil überzeugt! Eine solche Funktion muss es doch geben (Funktionen mit Globalverlauf vom Typ -x^3?). Ist hier jemand unter euch, der mir da auf die Sprünge helfen kann? Ist meine Rechnung und mein Ergebnis richtig oder wo liegt mein Fehler?

Ich bedanke mich schonmal im Voraus für eure Hilfe und wünsche ein schönes WE!
MG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Gleichungssysteme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden