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Bestimmung Funktion 3. Grades
Schüler Berufliches Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Funktion 3. Grades, Ganzrationale Funktionen
 
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Der Graph einer ganz rationalen Funktion dritten Grades berührt die Achse im Koordinatenursprung und hat im Punkt die Steigung 9. Bestimmen sie den Funktionsterm. Wir sind gerade an Kurvendiskussion dran und so ähnlich wird MORGEN eine Transferaufgabe aussehen. Was ich weiß ist die allgemeine Funktion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades: a*x^3+bx^2+cx+d Nur was steht für die jeweilige Variable!! Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen? |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) |
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a*x^3+bx^2+cx+d
Die Variablen kannst du bestimmen, indem du die jeweiligen Bedingungen in mathematische Sprache übersetzt: "berührt die Achse im Koordinatenursprung" heißt sowohl, dass der Koordinatenursprung ein Punkt der Funktion ist, also Es heißt aber auch, dass die x-Achse eine Tangente ist (wegen "berührt"), das bedeutet, dass die Steigung der Funktion in diesem Punkt ebenfalls 0 sein muss: "hat im Punkt die Steigung 9" heißt einerseits, dass der Punkt ein Punkt der Funktion ist, also: und die Steigung an dieser Stelle ist also: jetzt die Gleichungen einfach aufstellen a*0³+b*0²+c*0 und dann nach den Variablen auflösen. Klappt's oder gibt's Fragen? |
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Es heißt aber auch, dass die x-Achse eine Tangente ist (wegen "berührt"), das bedeutet, dass die Steigung der Funktion in diesem Punkt ebenfalls 0 sein muss: Wieso nimmst du hier die erste Ableitung? |
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Die erste Ableitung in einem Punkt ist gleich der Steigung der Funktion (bzw. gleich der Steigung der Tangente) in diesem Punkt. |
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Ich hasse so ein scheiß. Wieso kommt sowas als Transferaufgabe dran obwohl wir das noch nie gemacht haben!! Magst du mir den Term sagen? Ich kapiere es dann vielleicht besser. |
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Immer mit der Ruhe dann klappt alles besser.
Du meinst das Aufstellen von ? Ich gebe Hilfestellung: ax³ bx² cx Also: ? Anschließend einfach für alle einsetzen (denn Du willst ja ) haben, also und das Ganze setzen. Was bekommst du als Term raus? |
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Man berechnet die Steigung eines Graphes an einem Punkt (der auf dem Graphen liegt) mit der ersten Ableitung. Also wobei der Anstieg ist (wie bei linearen Funktionsgleichungen). So lassen sich die Steigungen von Tangenten, die man an den Graphen legt, berechnen. An der Zeichnung unten habe ich einen beliebigen Graphen (hier: ) gewählt, der die X-Achse im Koordinatenurprung berührt. Somit ist die X-Achse die Tangente und hat (lt Zeichung) den Anstieg 0. Wenn du jetzt die erste Ableitung bildest ) und die X-Koordinate des Punktes einsetzt, erhälst du . Somit ist der Anstieg der Tangente (x-Achse in diesem Fall) gleich 0. Das lässt sich auf alle Punkte, die auf dem Graphen liegen, verallgemeinern (und gilt auf für jeden beliebigen anderen Graphen). edit: okay, meine erklaerung kam seeeehr spaet xD |
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müsste lauten: 3*ax²+2*bx+c 3*a*0²+2*b*0+c Und was sagt mir das aus? wenn ich die variablen und noch da stehen habe? |
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Ok, alles richtig.
3*a*0²+2*b*0+c Da erhältst Du hiermit deine zweite Gleichung: 3*a*0²+2*b*0+c Jetzt musst du noch die letzten beiden Bedingungen als Gleichungen aufstellen, dann hast du 4 Gleichungen mit den vier UNbekannten das kannst du dann lösen und erhältst so deine Werte für und Zum Vergleich: a*0³+b*0²+c*0 3*a*0²+2*b*0+c a*(-3)³+b*(-3)²+c*(-3) 3*a*(-3)²+2*b*(-3)+c Das jetzt auflösen. Schaffst Du's? |
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Ich habe das noch NIE gemacht, also schaffe ich es leider nicht. Ich hatte in Mathe bis jetzt nie schwierigkeiten, aber bei sowas!! Ahh Würdest du dir für mich zeit nehmen und die ganze Aufgabe hin schreiben. Hoffe ich verstehe es dann!! Wäre furchtbar nett!! |
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Gut, also schreibe ich die Gesamtlösung hin, auch wenn das wichtigste jetzt eigentlich inzwischen schon stückchenweise da steht.
Der Graph einer ganz rationalen Funktion dritten Grades berührt die Achse im Koordinatenursprung und hat im Punkt die Steigung 9. Bestimmen sie den Funktionsterm. Ansatz: ganzrationale Funktion dritten Grades: ax³+bx²+cx+d 3ax²+2bx+c Zu bestimmen sind jetzt noch die 4 Variablen . Es sind Bedingungen angegeben, die von der Funktion erfüllt werden. Diese lauten: Ursprung (Punkt ) ist Punkt der Funktion: a*0³+b*0²+c*0+d "x-Achse wird im Koordinatenursprung berührt" ist gleichbedeutend mit der Aussage: "Steigung der Funktion an der Stelle 0 ist gleich 0": 3a*0²+2*b*0+c Punkt ist Punkt der Funktion: a*(-3)³+b*(-3)²+c*(-3)+d=0 Funktion hat an der Stelle die Steigung 3*a*(-3)²+2*b*(-3)+c Nun hat man also 4 Gleichungen und kann nach und auflösen: a*0³+b*0²+c*0+d 3a*0²+2*b*0+c a*(-3)³+b*(-3)²+c*(-3)+d=0 |einsetzen: 3*a*(-3)²+2*b*(-3)+c |einsetzen: Einsetzen in 3 um a zu ermitteln: Also lautet deine gesuchte Funktion: -3/15*x³ - 9/15*x² So, das wär's gewesen. Bitte gehe Schritt für Schritt durch und frage, wenn du was nicht verstehst. |
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Danke, ich druck es mir aus und schau es mir in Ruhe an. Hoffentlich verstehe ich das dann. Die anderen können es auch nicht besser. Vielen Dank noch einmal und einen schönen Tag. Ciao |
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Auch wenn der Thread schon alt ist, möchte mich trotzdem jetzt noch bedanken. mir hat es sehr weitergeholfen! danke für die ausführliche erklärung! |
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In der Gleichung ist ein Vorzeichenfehler. Die richtige Lösung muss heißen: Somit ergibt sich |
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"Der Graph einer ganz rationalen Funktion dritten Grades berührt die x− Achse im Koordinatenursprung und hat im Punkt die Steigung 9. Bestimmen sie den Funktionsterm." Lösung über die Nullstellenform: Berührung im Ursprung Doppelnullstelle, Einfachnullstelle in ´ Graph in die Steigung 9 ´ mfG Atlantik |
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Der Thread war 10 Jahre alt! Die Chancen, dass der Fragesteller sich nochmal für die Korrektur des Vorzeichenfehlers bedankt, sind gering. |
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