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Beweis lim n-te Wurzel aus a geht gegen 1

Universität / Fachhochschule

Tags: Grenzwert, konvergieren, lim, Parameter, Wurzel

candyan aktiv_icon

14:08 Uhr, 14.11.2016

Sei

a \in ℝ, a > 0

Folgern Sie aus

\sqrt[n]{n} \to 1

für

n \to \infty :

\sqrt[n]{a} \to 1

für

n \to \infty

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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Edddi aktiv_icon

14:34 Uhr, 14.11.2016

. .

. Wie wär's mit Fallunterscheidung:

Für

a \geq 1

und

lim_{n \to \infty}

gilt:

1 \leq a < n

\sqrt[n]{1} \leq \sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{n}

.
.

und für

a \leq 1

und

lim_{n \to \infty}

gilt:

\frac{1}{n} < a \leq 1

\sqrt[n]{\frac{1}{n}} < \sqrt[n]{a} \leq \sqrt[n]{1}

\frac{1}{\sqrt[n]{n}} < \sqrt[n]{a} \leq \sqrt[n]{1}

.
.

;-)

candyan aktiv_icon

15:50 Uhr, 14.11.2016

Hm das verstehe ich noch nicht so ganz. Wir haben ja gegeben, dass

a > 0

sein muss, wieso müssen wir dann auch den Fall

a \leq 0

betrachten?

Dann soll man aus

\sqrt[n]{n} \to 1

folgern, ich glaube das muss auch erst noch gezeigt werden.

Edddi aktiv_icon

15:53 Uhr, 14.11.2016

. .

. die Fallunterscheidung ist für

a \geq 1

bzw.

a \leq 1

Und das du folgern darfst, bedeutet, dass du

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

ohne Beweis als gegeben nehmen darfst

- d . h

. du musst es NICHT mehr zeigen!

Für doch mal meine beiden Relationsketten bis zu Ende! Du hast doch schon

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

gegeben und was

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1}

ist sollte ja nicht allzuschwer sein. Dadurch schachtelst du die mittleren Terme doch ein!

;-)

ledum aktiv_icon

16:17 Uhr, 14.11.2016

Hallo
dass man einfach

lim_{n \to \infty} \frac{n^{1}}{n} = 1

annehmen kann ist unwahrscheinlich, wenn es nicht schon bewiesen ist.

a > 1 \to a^{\frac{1}{n}} > 1, a^{\frac{1}{n}} = 1 + r_{n}, r_{n} > 0, a = {(1 + r_{n})}^{n} > 1 + n \cdot r_{n})

(Bernoulli Ungleichung)

0 > \frac{a - 1}{n} > r_{n} > 0

jetzt

lim \frac{a - 1}{n} = 0

also

lim r_{n} = 0

Versuchs ähnlich für

a < 1

Gruß ledum

Edddi aktiv_icon

16:48 Uhr, 14.11.2016

. .

. Folgern Sie aus

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

dass

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1

Dies ist die Kurzfassung der Aufgabenstellung. Somit ist für mich

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

als gegeben zu nehmen. Es soll also unter dieser Voraussetzung gezeigt werden (selbst wenn die Voraussetzung falsch wär).

;-)

ledum aktiv_icon

17:24 Uhr, 14.11.2016

Hallo Eddi
Danke! Damit hast du natürlich recht! man (ich) sollte Aufgaben genauer lesen!
Gruß ledum!

candyan aktiv_icon

21:04 Uhr, 14.11.2016

Ah natürlich :-) Vielen Dank,

\sqrt[n]{n}

und

\sqrt[n]{1}

gehen natürlich beide gegen 1 und somit bleibt ja nichts anderes übrig als die 1 (Gibt auch noch einen Satz dazu im Skript)

An sich würde mich als Übung noch der Beweis für

\sqrt[n]{n}

gegen 1 interessieren, das war eine vorherige Aufgabe, die ich nicht ganz vollständig hab. Hier mein Ansatz:

Setze

c_{n} := \sqrt[n]{n} - 1

Dann sollte

n = {(1 + c_{n})}^{2}

≥

1 + \frac{n (n - 1)}{2} c^{2}

fün

n \in ℕ, n

≥ 2 mit dem binomischen Lehrsatz gezeigt werden.
(Kein Problem, hab ich geschafft)

Jetzt soll ich noch folgern, dass

c_{n} \to 0

für

n \to \infty

und da hakt es dann mal wieder.

ledum aktiv_icon

21:15 Uhr, 14.11.2016

Hallo irgendwie macht dein Teilbeweis keinen Sinn wieso gerade

{(1 + c_{n})}^{2}

oder meinst du

{(1 + c_{n})}^{n}

?
Gruß ledum

Respon

21:26 Uhr, 14.11.2016

Bekannte Eigenschaften der relevanten Funktionen vorausgesetzt.

n^{\frac{1}{n}} = e^{ln (n^{\frac{1}{n}})} = e^{\frac{ln (n)}{n}}

l'hospital

candyan aktiv_icon

21:52 Uhr, 14.11.2016

oh sorry, ja es sollte

^n

heißen.

i´hospital dürfen wir leider nicht verwenden,

e

und

ln

hatten wir auch noch nicht.

Respon

21:57 Uhr, 14.11.2016

Philipps-Universität Marburg ?
Aber

e

und

ln

sind doch Schulstoff !

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