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Beweisversuch: Wo liegt der Fehler? Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Beweis, Folgen und Reihen, Konvergenz, monoton fallend, Monotonie

anonymous

16:36 Uhr, 20.11.2019

Hallo,

kann mir jemand sagen, wo der Fehler in dem Beweisversuch liegt?

\sum_{i = 1}^{n} a_{n}

sei konvergent und

{(a_{n})}_{n = 1}^{\infty}

monoton fallend.

Zu zeigen:

lim_{n \to \infty} (n \cdot a_{n}) = 0

.

Beweis:

Reihe ist konvergent und

(a_{n})

ist monoton fallend

\Rightarrow (a_{n})

ist Nullfolge

man weiß:

\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{n}

ist divergent, also muss gelten

a_{n} < \frac{1}{n} \Leftrightarrow a_{n} \cdot n < 1 f . f . a

n

sei

b_{n} = n \cdot a_{n}

und

s = \sum_{i = 1}^{n} b_{n}

Wurzelkriterium:

c_{n} = \sqrt[n]{| b_{n} |} = \sqrt[n]{n \cdot a_{n}} < 1,

a_{n} \cdot n < 1

\Rightarrow

die Rehe

s_{n}

ist absolut konvergent

\Rightarrow lim_{n \to \infty} (n \cdot a_{n}) = 0

mein Problem: wenn man bspw.

a_{n}

wählt mit

a_{n} = \frac{1}{n^{2}},

also

a_{n} < \frac{1}{n} f . f . a

n,

dann ist

s = \sum_{i = 1}^{n} b_{n} = \sum_{i = 1}^{n} n \cdot (\frac{1}{n^{2}}) = \sum_{i = 1}^{n} (\frac{1}{n}),

was divergiert

Sieht jemand den Fehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pwmeyer aktiv_icon

17:33 Uhr, 20.11.2019

Hallo,
ich sehe zwei Fehler:

- Warum sollte folgen

a_{n} < \frac{1}{n}

?
- Aus

{| b_{n} |}^{\frac{1}{n}} < 1

folgt nicht die Reihenkonvergenz über

(b_{n})

. Lies mal das Quotientenkriterium genau nach.

Ich würde den Beweis mal mit der Verneinung von

lim (n \cdot a_{n}) = 0

anfangen (indirekt).

Gruß pwm

anonymous

17:45 Uhr, 20.11.2019

Hallo,

zum ersten Punkt: habe gedacht, dass

a_{n} < \frac{1}{n}

gelten muss, da

\sum_{i = 1}^{\infty} (\frac{1}{n^{α}})

nur für

α > 1

konvergiert.

Zum zweiten Punkt: Habe ja das Wurzelkriterium anwenden wollen, nicht das Quotientenkriterium.
Die Idee war, dass

\sqrt[n]{| b_{n} |}

gegen 0 geht, da

| b_{n} | < 1,

also limsup

c_{n} < 1 (n \to \infty),

was nach Wurzelkriterium absolute Konvergenz für die Reihe bedeutet.

pwmeyer aktiv_icon

17:52 Uhr, 20.11.2019

Hallo,

mit Quotientenkriterium habe ich mich verschrieben, meinte Wurzelk.

Das lautet limsup

c_{n} < 1

und nicht

c_{n} < 1,

wie Du geschrieben hattest.

Der Beweis läuft schon irgendwie auf den Vergleich mit

\frac{1}{n}

hinaus, es müsste aber genauer begründet werden (meine ich). Du hast ja zum Beispiel noch gar nicht die Monotonie der

(a_{n})

ausgenutzt. Das sollte einen immer stutzig machen, wenn man bei einer Aufgabe nicht alle Angaben verwendet.

Gruß pwm

PS: Bin jetzt weg.

HAL9000

18:34 Uhr, 20.11.2019

@KappaAlpha

Ich gehe auf deine Beweisversuche nicht ein, da ich nicht sehe, wie aus denen noch was werden könnte.

------------------------------------------

Aus den Voraussetzungen folgt, dass

(a_{n})

eine nichtnegative monoton fallende Nullfolge ist. Man macht sich nun zunutze, dass bei einer konvergenten Reihe die Folge der Reihenreste

r_{n} := \sum_{k = n}^{\infty} a_{k}

auch eine Nullfolge bilden:

Für jedes

ε > 0

gibt es daher ein

n_{0}

mit

0 \leq r_{n_{0}} < ε

, es folgt dann für alle

n \geq n_{0}

die Ungleichung

ε > \sum_{k = n_{0}}^{n} a_{k} \geq (n - n_{0} + 1) a_{n}

.

Mögliches Ziel könnte nun sein, dass das rechts z.B.

\geq \frac{n}{2} a_{n}

ist, was ab einem gewissen Index auch erreichbar ist...

anonymous

19:14 Uhr, 20.11.2019

Alles klar, das hat geholfen, Danke!

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