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Elementare Geometrie

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Tags: Beweis, Dreieck, Geometrie, Parallelogramm, Zeige

 
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klatschmir

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17:27 Uhr, 18.11.2009

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Aufgabe 19
a) Begründe: In jedem Dreieck ABC gilt: ha<b+c/2
b) Zeigen Sie, dass in einem Dreieck die drei Höhen zusammen kürzer sind als der Umfang.

20. Zwei Beweise zum Parallelogram
Ein Parallelogramm ist definiert als ein Viereck, bei dem je zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind. Zei-gen Sie, dass in jedem Parallelogramm
a) gegenüberliegende Winkel kongruent und
b) gegenüberliegende Seiten gleichlang sind.


21. Gleichseitige Dreiecke über Dreieck
Wir gehen von einem Dreieck ABC aus und zeichnen über jeder Seite ein gleichseitiges Dreieck. Die jeweils neue Ecke nennen wir A´, B´ bzw. C´.
Beweisen Sie, dass die Strecken [BC´], [AB´], [CA´] gleich lang sind.


22.

a) Zeigen Sie die Umkehrung des Basiswinkelsatzes :
b) Zeigen Sie: Schneidet in einem Dreieck ein Kreis, der eine Dreiecksseite als Durchmesser hat (der Mittel-punkt des Kreises ist also der Mittelpunkt der Dreiecksseite!), auf den beiden anderen Dreieckseiten kon-gruente Sehnen aus, so ist das Dreieck gleichschenklig.
Hierzu passend bei OnlineMathe:

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hagman

hagman aktiv_icon

19:36 Uhr, 18.11.2009

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19a)
Ist gemeint ha<b+c2?
Es ist ha≤b (mit Gleichheit genau dann, wenn C Höhenfußpunkt ist) und ha≤c (mit Gleichheit genau dann, wenn B Höhenfußpunkt), somit ha≤b+c2 mit Gleichheit genau dann, wenn sowohl B als auch C Höhenfußpunkt von ha; letzteres ist aber ausgeschlossen, weil es insb. B=C bedeutete.

b) Folgt direkt aus a)

20.
Das geht sehr grundlegend mit Wechselwinkeln etc.
Welches Axiomensystem darf verwendet werden Euklid oder Hilbert?

21.
Hier gibt es einen schönen Beweis mit komplexen Zahlen. Wäre das zulässig?

22
a)Gegeben ABC mit α=β. Konstruiere das gleichschenklige Dreieck AB'C mit B'∈AB und weise B=B' nach.
b) Dreieck ABC,AB sei der Durchmesser, D∈AC,E∈BC die Schnittpunkte.
Nach Thales ist ∠ADB=∠AEB= 90°.
Daher ABD≅BAE (nach SsW).
Mit a) folgt die Behauptung
klatschmir

klatschmir aktiv_icon

19:44 Uhr, 18.11.2009

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zu 19) die gleichung stimmt so.

20)Euklid

21) ja komplexe zahlen sind zugelasen
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hagman

hagman aktiv_icon

08:15 Uhr, 20.11.2009

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21. mit ℂ:
Die Punkte A,B,C in der Ebene werden als komplexe Zahlen aufgefasst.
Sei ω primitive 6-te Einheitswurzel (d.h. 0,1,ω bilden eingleichseitiges Dreieck).
Dann ist A'=C+ω⋅(B-C),B'=A+ω⋅(C-A),C'=B+ω⋅(A-B)
Wenn man die neuen Ecken sinnvoll bennent (nämlich wie gerade geschehen und wie es jeder Geometer machen würde), dass A' über der Seite a also BC konstruiert wird, sollten die als gleich nachzuweisenden Strecken eher [AA'],[BB'],[CC'] sein.
Es ist aber A'-A=(C-A)+ω⋅(B-C)=-A+ω⋅B+(1-ω)⋅C=ω3⋅A+ω⋅B+ω5⋅C
unter Benutzung von ω3=-1 und ω5=1-ω (nachprüfen!)
Ebenso ergibt sich B'-B=ω3⋅B+ω⋅C+ω5⋅A=ω2⋅(ω3⋅A+ω⋅B+ω5⋅C)=ω2⋅(A'-A), also sind B'-B und A'-A gleich lang. Ebenso C'-C.
klatschmir

klatschmir aktiv_icon

14:39 Uhr, 20.11.2009

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zu Aufgabe 22
a) Wie weise ich B=B´ nach?

Könntest du mir noch bei der 20 helfen? Ich weiß nicht genau wie ich anfangen soll.
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