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Ellipsenfläche Berechnung mittels Integralrechnung

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 12. Klassenstufe

Tags: Ellipse, Fläche, Integral

rhcp18 aktiv_icon

13:34 Uhr, 29.03.2009

Hallo,
es geht um die Herleitung der Flächenformel für die Ellipse:

A = a \cdot b \cdot π

Habe die Berechnung bereits aus einem anderen Beitrag:

habe die Aufgabe nach

y

umgestellt, da kommt raus

y^{2} = b^{2} \cdot

√(1-(x^2/a^2))*dx

y =

+-b√(1-(x^2/a^2))
I=b ∫ √(1-(x^2/a^2))*dx
1.Substitution

u = \frac{x}{a} \Rightarrow

du/dx=1/a
I=b ∫ √(1-u^2)*a*du
=ab ∫ √(1-u^2)
2.Substitution:

u = sin p;

du/dx

= cos p

I= ab ∫ √(1-sin^2p)*cos p*dp;

1 - {sin}^{2} p

umwandeln in

{cos}^{2} p

I= ab ∫ √(cos^2p)*cos p*dp; wurzel ziehen, geht bei

{cos}^{2} p

prima
I= ab ∫

cos p \cdot cos

p*dp; nachschauen unter Formel für Potenzen (Papula Formelbuch Seite

96,

da findet man einen anderen Ausdruck für

({cos}^{2}) x

I= ab ∫ 1/2(1+cos(2p))*dp;

\frac{1}{2}

vor das Integral
I= ab*1/2 ∫ (1+cos(2p))*dp
3.Substitution:

2 p = q,

dq/dp=2
I= ab*1/2 ∫

(1 + cos

q)*1/2*dq
I= ab*1/4*

q \cdot cos q;

Rücksubstitution
I= ab*1/4*

(2 p + {sin}^{2} p)

I= ab*1/4*

(2 \cdot sin p \cdot cos

p);Rücksubstitution
I= ab*1/4* (2*arcsin

u + 2 u \cdot

√(1-sin^2p)
I= ab*1/4* (2*arcsin

u + 2 u \cdot

√(1-u^2);Rücksubstitution
I= ab* (1/2*arcsin(x/a)

+ \frac{1}{2} (\frac{x}{a}) \cdot

√(1-(x^2/a^2)

Fläche der Ellipse:

A =

4*(ab* (1/2*arcsin(x/a)

+ \frac{1}{2} (\frac{x}{a}) \cdot

√(1-(x^2/a^2); Betrachtung von 0 bis a

A =

4*(ab* (1/2*arcsin(1)

+ \frac{1}{2} (\frac{a}{a}) \cdot

√(1-1))

A =

4*(ab*

(\frac{1}{2} \cdot (\frac{Π}{2} + 0)

A =

ab*Pi

Bis zu "3. Substitution" versteh ich eigentlich alles, aber alles was ab der 3. Substitution kommt versteh ich nicht mehr

\frac{:}{}

Kann mir vielleicht jemand die einzelnen Schritte erklären?
Danke vielmals im Vorraus :-)
LG Raffi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

MBler07 aktiv_icon

21:36 Uhr, 29.03.2009

Hallo Raffi

Nach der 3. Substitution hast du ein sehr einfaches Integral von dem die Stammfkt gebildet wird. Jetzt werden alle Substitutionen nacheinander rückgängig gemacht.
Da die Ellipse mehrfach symmetrisch ist, reicht es die Fläche von einem Viertel zu berechnen und diese dann mit vier zu multiplizieren.

Um das machen zu können werden die Integralgrenzen als 0 und a gesetzt.
Der Rest ist Umformung.

Grüße

rhcp18 aktiv_icon

21:58 Uhr, 29.03.2009

Ja aber wieso ergibt

\int

(1+cosq)dq = q*cosq ?
1 integriert ergibt doch

q,

und

\int

cosq = sinq

und dann ist auf einmal beim rückeinsetzen, statt

q = 2 p

versteh ich ja ,
aber wieso

+ {sin}^{2} p

???

MBler07 aktiv_icon

22:06 Uhr, 29.03.2009

Das sind (vermutlich) Schreibfehler.

\int 1 + cos (q) \frac{1}{2} d q

\frac{1}{2} (q + sin (q))

\to \frac{1}{2} (2 p + sin (2 p)) = \frac{1}{2} (2 p + 2 sin (p) cos (p)) = p + sin (p) cos (p)

\to a r c sin (u) + u \cdot \sqrt{1 - u^{2}}

und ab da stimmts wieder (abgesehen halt von den

\frac{1}{2}

die ich weggekürzt habe)

rhcp18 aktiv_icon

22:22 Uhr, 29.03.2009

Wieso kommt nach

\frac{1}{2} (2 p +

sind

(2 p)) \to \frac{1}{2} (2 p +

2sin(p)

cos (p))

?? wo kommt das

cos

plötzlich her ?? ich steh wohl völlig auf der Leitung.

Noch ne Frage, wieso substituiert man eigentlich (sh. 2.Substitution)

u = sin (p)

MBler07 aktiv_icon

22:26 Uhr, 29.03.2009

Das erste kommt aus der Formelsammlung. Wie man es herleitet weiß ich nicht. Du kannst das einfach als gegebene Formel betrachten.

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

Zum zweiten:
Weils Sinn macht. Dadurch wird das Integral lösbar.

(\to

trigo. Phytagoras)
Oder auf was wolltest du mit dieser Frage hinaus?

rhcp18 aktiv_icon

22:40 Uhr, 29.03.2009

ok, danke.
nein ich wollts nur so wissen danke :-)

wieso kommt man von folgendem schritt zum nächsten? :

I= ab*1/4* (2⋅sinp⋅cos p);Rücksubstitution
I= ab*1/4* (2*arcsin u+2u⋅ √(1-sin^2p)

1 .)

wieso hat man jetzt plötzlich arcsin

2 .)

wo kommt das

+ 2 u

her ?

sry,
ich steh scheinbar total auf der leitung, bin auch kein mathe-genie :-D)
freut mich aber sehr dass du mir so hilfst

MBler07 aktiv_icon

22:58 Uhr, 29.03.2009

Kein Problem.

1) u = sin (p) \Leftrightarrow p = a r c sin (u)

2)

Schau in meinen Beitrag. Nicht in deinen. Da fehlt, wie schon gesagt, einiges.
Einfach für

sin (p)

das

u

einsetzen.

rhcp18 aktiv_icon

23:11 Uhr, 29.03.2009

Super danke,
könntest du mir vielleicht den kleinen Rest (Fläche) noch weiterberechnen mit deinem Ausgangsterm? Und dabei dazu schreiben, also erklären wieso du die Schritte so machst ?
DAnke das wär so nett

!!

MBler07 aktiv_icon

23:16 Uhr, 29.03.2009

Wie ich auch schon weiter oben geschrieben habe, stimmt das ganze danch wieder. Nach Rücksubstitution wird mit demselben Term weitergerechnet.

Die ganze Fläche wird mit 4 multipliziert.
Das Ellipsenviertel durch einsetzen der Grenzen und standardmäßiges anwenden der Fomrel

F (a) - F (0)

berechnet.

Konkretere Fragen beantworte ich, aber alles aufschreiben will ich nicht.

rhcp18 aktiv_icon

23:30 Uhr, 29.03.2009

Okay danke ich hab den Rest schon selber geschafft zu verstehen :-D)

Du bist echt ein Wahnsinn, danke !

Wenn du noch Lust hast, ich hab für mein Spezialgebiet noch zu berechnen :
Leite die Trapezfläche mittels Integralrechnung her