Eulersche Zahl/Integralrechnnung

${\displaystyle {\int }_0^{1/2}2\mathrm{e²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ Könnte mir jemand erklären, wie man auf das Ergebnis 1,72 kommt?

Das x steht auch im Exponenten, wusste nur nicht wie man das da reinbekommt

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}2\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{2\cdot \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2\cdot {\int }_0^{\frac{1}{2}}{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{2\cdot \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Substituiere:

${\displaystyle \mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2\cdot \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=2}$

also:

${\displaystyle \text{dx =}\frac{1}{2}\cdot \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Einsetzen:

${\displaystyle 2\cdot {\int }_0^{\frac{1}{2}}{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \frac{1}{2}\cdot \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\int }_0^{\frac{1}{2}}{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\left[{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right]}_0^{\frac{1}{2}}={\left[{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{2\cdot \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right]}_0^{\frac{1}{2}}={\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^1-{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0=\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}$

Achtung: (3. Gleich.-Zeichen)

Zuerst muss rücksubstituiert werden, erst dann werden die Integrationsgrenzen eingesetzt.

Erstmal vielen Dank!

Würde mich freuen, wenn diese Aufgabe mal jemand anschaeun würde.

${\displaystyle {\int }_0^1(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ Substitution -x+1=u

${\displaystyle \frac{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$= -1 Einfach das u Ableiten?!

${\displaystyle \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{2}*\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ - damit man das leichter einsetzen kann.

= $$\begin{gathered} {\displaystyle {\int }_0^1(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})*\frac{1}{2}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ =\frac{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})}{2}} \end{gathered}$$

${\displaystyle \frac{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1})}{2}}$ - Substitution wieder einsetzen

Soweit erstmal, würde dann jetzt die Grenzwerte einsetzen. Würde mich echt freuen, wenn das jemand mal korrigieren würde :)

Also nochmal möcht ich mich für eure Mühe bedanken :).

Frage hätte man diese "einfache" Methode nicht auch für die erste Aufgabe verwenden können?

Und falls nicht, gibt es irgendwelche Indikatoren, die es einem erleitern herauszufinden, ob die Substitution angwendet werden muss oder nicht?

Vielen Dank

und Liebe Grüße