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Exponentialfunktion zu zwei Punkten bestimmen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Exponentialfunktion, Funktion, Graph, Punkt

mary0310 aktiv_icon

18:03 Uhr, 15.03.2017

In meiner Vorbereitung für die mündliche Abiturprüfung in Mathe bin ich auf diese Aufgabe gestoßen:

Bestimmen Sie

c

und

a, (a > 0)

so, dass der Graph der Exponentialfunktion

f

mit

f (x) = c \cdot a^{x}

durch die Punkte A und

B

geht.

A (0 | 2)

und

B (1 | 1,25)

Leider fehlt mir der Ansatz, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.
Ich könnte

z . B

Punkt A bei

f (x)

einsetzen, dann würde es heißen

2 = c \cdot a^{0}

Dementsprechend wäre

c = 2

und a könnten alle Zahlen sein, da

a^{0}

ja immer 1 ist. Dass dies der richtige Weg ist, bezweifle ich allerdings.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Ebene Geometrie - Einführung
Einführung Funktionen
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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18:08 Uhr, 15.03.2017

Dein Weg stimmt schon:

c = 2

f (1) = 1,25

1,25 = 2 \cdot a^{1}

a = . .

mary0310 aktiv_icon

18:15 Uhr, 15.03.2017

Sorry, hab bei der Frage einen Fehler eingebaut. Der Punkt

B

ist

(1 | 2,5)

.

Demnach wäre dann

2,5 = 2 \cdot a^{1}

Das geteilt durch 2

1,25 = a

und

f (x) = 2 \cdot {1,25}^{x}

Im Umkehrschluss heißt das dann, dass ich mit einem der Punkte

c

bestimmen kann und dann durch das Einsetzen von dem zweiten gegebenen Punkt a bestimmen kann?

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18:21 Uhr, 15.03.2017

In diesem Fall geht das so einfach, weil die Punkte so angenehm sind.

In anderen Fällen löst man die 1. Gleichung nach a oder

c

auf, wenn a nicht wegfällt und setzt in die 2.Gleichung ein.

mary0310 aktiv_icon

18:33 Uhr, 15.03.2017

Soweit so gut.
Als Beispiel habe ich jetzt die Punkte

A (1 | 1)

und

B (3 | 3)

1 = c \cdot a^{1}

3 = c \cdot a^{3}

Löse ich nun die erste Gleichung nach

c

auf komme ich auf

c = \frac{1}{a}

Setze das in die zweite Gleichung ein

3 = \frac{1}{a} \cdot a^{3}

Daraus folgt

3 = a^{2}

also

a = \sqrt{3}

Eingesetzt in die Gleichung komme ich dann auf

c = \frac{1}{\sqrt{3}}

In den Lösungen soll jedoch

c = 0,5

und

a = 2

sein.
Wo liegt mein Fehler?

Roman-22

18:38 Uhr, 15.03.2017

>

In den Lösungen soll jedoch

c = 0,5

und

a = 2

sein.
Dann ist entweder die Lösung falsch oder du hast etwas durcheinander gebracht.
Der Graph von

f (x) = \frac{1}{2} \cdot 2^{x}

enthält zwar den Punkt

(1 / 1),

aber sicher nicht den Punkt

(3 / 3)

. Denn

f (3) = 4

mary0310 aktiv_icon

18:40 Uhr, 15.03.2017

Die Punkte habe ich mir dieses Mal richtig aufgeschrieben, also wären wohl die Lösungen falsch.
Solange meine Rechnung stimmt, ist das in Ordnung für mich.
Danke für die Hilfe :-)

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18:42 Uhr, 15.03.2017

Und die stimmt.
Musst nur die Probe machen. :-)

Falsche Lösungen kommen öfters vor in Büchern.

Roman-22

18:46 Uhr, 15.03.2017

>

Die Punkte habe ich mir dieses Mal richtig aufgeschrieben, also wären wohl die Lösungen falsch.
So wird es dann wohl sein. Wobei ich eher vermute, dass der Fehler bei der Angabe passiert ist und die Koordinaten von

B (3 / 4)

oder vielleicht auch

(2 / 2)

sein sollten. Dann würde die Lösung passen.

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