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Extremwertberechnug Leiter durch Korridore bewegen

Sonstiges

Tags: Dreieck, Extremwert, Extremwertproblem, Flächeninhalt, Gleichschenkliges Dreieck

dorian aktiv_icon

14:45 Uhr, 09.04.2008

Hallo zusammen,

ich begrüße alle hier im Forum.
Ich habe eine Frage zu einer Extremwertaufgabe.

Aufgabe:
Zwei Korridore der Breite

2,4 m

und

1,6 m

schneiden einander unter einem rechten Winkel. Bestimmen Sie die größte Länge einer Leiter, die man horizontal aus dem einen Korridor in den anderen tragen kann.

ich habe sowas schonmal gerechnet und die hauptschwierigekeit besteht eigentlich in der Aufstellung der Nebenbedingungen. Daher brauche ich eure Hilfe.

Mein Ansatz:

Wenn man das Bild betrachtet(hoffe das hochladen hat geklappt) kann man erkennen, das man in die Ecke mit dem 90° Winkel ein Dreieck einlegen kann. Die Grundseite dieses Dreiecks sei die Leiter. Bei mir, durch Unwissenheit im Umgang mit dem Zeichenprogramm als Gerade dargestellt.
Nun fällt auf das es ein gleichschenliges Dreieck ist und umso länger die Grundseite, in dem Fall die Leiter, umso größer würde auch der Flächeninhalt A des gleichschenligen Dreiecks.
Ich hoffe man kann meinen Gedankengang ein wenig nachvollziehen.
Daher würde ich als Hauptbedingung

A = \frac{1}{2} g \cdot h

nehmen.
Wie kann man nun am besten vorgehen um die Nebenbedingung zu erhalten damit die Zielfunktion erstellt werden kann.

Viele Grüße

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DK2ZA aktiv_icon

18:03 Uhr, 09.04.2008

Siehe beigefügte Zeichnung.

a und

b

sind gegeben. Die Leiter wird um die Ecke

E

gedreht.

x

ist der Parameter, der so zu bestimmen ist, dass die Länge

s = s 1 + s 2

der Leiter möglichst klein wird.

Es gilt:

s (x) = s 1 (x) + s 2 (x) = \sqrt{x^{2} + a^{2}} + \sqrt{b^{2} + {(\frac{a}{x} \cdot b)}^{2}}

Wir suchen das Minimum, also

s' (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} - \frac{a^{2} \cdot b^{2}}{x^{3} \cdot \sqrt{a^{2} \cdot \frac{b^{2}}{x^{2}} + b^{2}}}

0 = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} - \frac{a^{2} \cdot b^{2}}{x^{3} \cdot \sqrt{a^{2} \cdot \frac{b^{2}}{x^{2}} + b^{2}}}

\frac{x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \frac{a^{2} \cdot b^{2}}{x^{3} \cdot \sqrt{a^{2} \cdot \frac{b^{2}}{x^{2}} + b^{2}}}

\frac{x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \frac{a^{2} \cdot b}{x^{3} \cdot \sqrt{\frac{a^{2}}{x^{2}} + 1}}

\frac{x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \frac{a^{2} \cdot b}{x^{2} \cdot \sqrt{a^{2} + x^{2}}}

x = \frac{a^{2} \cdot b}{x^{2}}

x^{3} = a^{2} \cdot b

x = {(a^{2} \cdot b)}^{\frac{1}{3}}

a = 1,6

und

b = 2,4

einsetzen liefert

x = 1,83 . .

.

Die zugehörige Leiterlänge ist

s = 5,62 (m)

GRUSS, DK2ZA

dorian aktiv_icon

11:18 Uhr, 13.04.2008

Hallo,

Du schreibst wir suchen das Minimum?
Ich dachte eigentlich wir suchen das Maximum, also die

max

. Länge der Leiter??

Ansonsten habe ich nun mal nachgerechnet. Ich komme bis zur ersten Ableitung. Diese setze ich gleich 0. Aber beim umstellen komme ich erstmal nicht weiter.

s' (x) = 0

\frac{a^{2} \cdot b^{2}}{x^{3} \cdot (\sqrt{a^{2} \cdot \frac{b^{2}}{x^{2}} + b^{2}})} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}

a^{2} \cdot b^{2} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} \cdot x^{3} \cdot \sqrt{a^{2} \cdot \frac{b^{2}}{x^{2}} + b^{2}}

man sagt ja, alle

x

auf eine Seite bringen und ausklammern...
aber das muss ich wohl noch anders vereinfachen oder?

Grüße

DK2ZA aktiv_icon

14:36 Uhr, 13.04.2008

Ich habe in meinem vorigen Beitrag die Rechnung ausführlicher dargestellt und dabei noch eine enorme Vereinfachung entdeckt (und auch einen kleinen Fehler).

Wir suchen tatsächlich das Minimum der Strecke

s 1 + s 2

. Du musst dir nur vorstellen, dass

x

sehr klein wird. Dann wird

s 2

beliebig groß. Und wenn man

x

sehr groß macht, dann wird

s 1

sehr groß. Wir bekommen aber nur die kleinste dieser Strecken um die Ecke E. Also dürfen die Leitern nicht länger sein.

GRUSS, DK2ZA

dorian aktiv_icon

15:04 Uhr, 13.04.2008

Hallo DK2ZA,

ich komme auch auf

1,83 . .

. und nach einsetzen auf

5,62 m

. Einwandfrei!
Deine Berechnung der Wurzelgleichung war sehr übersichtlich. Du ziehst also erstmal

b

aus der Wurzel und kürzt. Dann wird

x^{2}

aus der Wurzel ausgelammert usw. Kann ich soweit verstehen.
Herzlichen Dank für Deine Hilfe!

Grüße

EDIT: Hätte ich fast vergessen. Der geometrische Zusammenhang fehlt mir auch noch. Warum ist die Karhete in Deiner Zeichnung

\frac{a}{x} \cdot b

? Auf welchem Lehrsatz beruht das?

DK2ZA aktiv_icon

17:48 Uhr, 13.04.2008

Warum ist die Kathete in Deiner Zeichnung

\frac{a}{x} \cdot b

? Auf welchem Lehrsatz beruht das?

Die beiden Dreiecke sind einander ähnlich, da sie in zwei Winkeln übereinstimmen:
Beide besitzen einen 90° Winkel und ihre Winkel bei Punkt

E

sind auch gleich groß.

Bei zueinander ähnlichen Dreiecken stehen einander entsprechende Seiten im gleichen Verhältnis. Hier bedeutet das unter anderem, dass das Verhältnis von langer zu kurzer Kathete bei beiden Dreiecken gleich ist.

Wenn ich die lange Kathete des größeren Dreiecks mit

k

bezeichne, dann gilt also

\frac{a}{x} = \frac{k}{b}

woraus folgt

k = b \cdot \frac{a}{x}

GRUSS, DK2ZA

dorian aktiv_icon

10:41 Uhr, 14.04.2008

ok! Danke!

Grüße

000ramscher aktiv_icon

17:28 Uhr, 25.01.2019

Eine Frage: wieso ist die Lösung nicht symmetrisch bzgl. a und

b

?Es ist doch egal, ob man von a kommend in Richtung

b

abbiegt oder umgekehrt.

abakus

18:57 Uhr, 25.01.2019

Lösungsvariante:
Wir setzen mal in die Ecke des Ganges den Koordinatenursprung.
(Sorry DK2ZA, ich habe gleich mal deine Zeichnung als Grundlage genommen.)
Die Leiter liegt dann auf der Ursprungsgeraden y=m*x, welche die obere Wand des waagerechten Flures
im Punkt (2,4/m ; 2,4) schneidet.
Diese Ursprungsgerade schneidet die linke Wand des senkrechten Flures
im Punkt (-1,6 ; -1,6m).
Der Abstand beider Punkte ist zu minimieren. Da im Abstand Wurzeln vorkommen, die das Ableiten erschweren, verwenden wir einen kleinen Trick: Der Abstand ist minimal, wenn auch das Quadrat des Abstands minimal ist.
Damit ist f(m)=(2,4/m -(-1,6))²+(2,4 - (-1,6m))² zu minimieren.

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