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Fläche mit Integral berechnen (y-Achse)

Schüler Gymnasium,

Tags: Integral

Ma-ri-on aktiv_icon

21:11 Uhr, 28.02.2012

Hallu :-)

Habe folgende Aufgabe:

Funktion

f & g

und y-Achse umschließen ein Flächenstück im 1. Quadranten.
Berechnen Sie den Inhalt A.

f (x) = 2 x^{2} + 4

g (x) = - 2 x + 8

Meine Überlegung war, dass man jetzt die y-Achsenabschnitte der Graphen berechnet und den Schnittpunkt der beiden Graphen, da man ja normalerweise die Nullstellen berechnen muss, welche jedoch nicht vorhanden sind.

Meine Ergebnisse sind folgende:

y-Abschnitt von

f = 4

y-Abschnitt von

g = 8

Schnittpunkt

= (1 | 6)

ja und nun ?

dachte, vielleicht

\int_{4}^{8} (g (x) - f (x)) d x

? aber dann kommt laut Lösung das falsche ergebnis raus und irgendwie kommt mir das auch spanisch vor..

bitte bitte ich brauche eure hilfe. die klausur nächste woche MUSS einfach gut werden und ohne eure Hilfe wird das nichts

: (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

vulpi aktiv_icon

21:59 Uhr, 28.02.2012

Hi, dein Integral stimmt soweit-nur sind die Integrationsgrenzen falsch.

x_{1} = 0

x_{2} = 1

A = \int_{0}^{1} (g (x) - f (x)) d x

Ma-ri-on aktiv_icon

22:01 Uhr, 28.02.2012

jetzt verstehe ich GARNICHTS mehr

: - O

die Graphen schneiden die y-Achse und nicht die x-Achse, da kann ich ja nicht einfach Nullstellen berechnen ..

vulpi aktiv_icon

22:13 Uhr, 28.02.2012

Hi,
die gesuchte Fläche ergibt sich doch aus der Differenz von

g (x) - f (x)

Es werden also senkrechte Streifen der Länge

g (x) - f (x)

und der Breite

d x

aufsummiert.
Der erste davon liegt bei

x_{1} = 0,

der letzte bei

x_{2} = 1,

beim Schnittpunkt.

Oder so besehen:

Du bestimmst die Fläche unter

g (x)

bis zur X-Achse von 0 bis 1

A 1 = \int_{0}^{1} g (x) d x

Dann die Fläche unter

f (x)

bis zur

X -

Achse von 0 bis 1

A_{2} = \int_{0}^{1} f (x) d x

Die gesuchte Fläche ist dann

A 1 - A 2 = \int_{0}^{1} g (x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x

Das läßt sich abere in

⊙ g

. Einzelintegral der Differenzfunktion

g (x) - f (x)

zusammenfassen.

gruß

Ma-ri-on aktiv_icon

22:25 Uhr, 28.02.2012

achsoo . ok ich versuchs noch mal !

in der Zwischenzeit hätte ich eine weitere Frage??

Habe diese beiden Funktionen.

f (x) = \sqrt{2 x + 8} = {(2 x + 8)}^{\frac{1}{2}}

g (x) = x

(soll die 1.Winkelhalbierende sein)
zusammen mit der x-Achse schließen diese eine Fläche ein.
Ich dachte jetzt, dass ich erstmals die Nullstelle von

f

berechne. Dies wäre

x = - 4

Als nächstes habe ich den Schnittpunkt der Graphen berechnet.

\sqrt{2 x + 8} = x |

quadrieren

2 x + 8 = x^{2} | - x^{2}

- x^{2} + 2 x + 8 = 0 | : (- 1)

x^{2} + 2 x + 8 = 0

meine Lösungen sind

x = 2

und

x = - 4

laut GTR jedoch

x = - 2

und

x = 4 (4

würde mit der Abbildung auf dem GTR übereinstimmen

. .)

Das wäre das erste Problem. Das zweite wäre, dass es laut Abbildung nur EINE Schnittstelle geben dürfte ?!!

Dann habe ich das Integral vom

f (x)

in den Grenzen

x = - 4

und

x = 4

und das Integral von

g (x)

mit

x = 0

und

x = 4,

berechnet und anschließend den Flächeninhalt von

g (x)

von

f (x)

subtrahiert.

Laut Lösungsheft ist mein Ergebnis( natürlich wieder) falsch

: (

Ma-ri-on aktiv_icon

22:26 Uhr, 28.02.2012

Sorry, habe mich vertippt!!

Letzte Zeile müsste sein :

x^{2} - 2 x - 8 = 0

vulpi aktiv_icon

22:39 Uhr, 28.02.2012

Hi, ich nehm an, es soll heißen, dass die Funktionen mit der Y-Achse eine
Fläche einschließen, nicht mit der X-Achse (Siehe Graph)
Diese wäre genauso wie bei der anderen Aufgabe

A = \int_{0}^{4} (f (x) - g (x)) d x

Die zweite "Lösung"

x = - 2

für den Schnittpunkt kannst du als Scheinlösung verwefen.
Die ist nur für die negative Wurzel korrekt.

- \sqrt{2 \cdot (- 2) + 8} = - 2

Mit der Wurzelfunktion

\sqrt{2 x + 8}

sind aber nur die positiven Werte Funktionswerte.
Also nur der pos Arm der liegenden Parabel.

Ma-ri-on aktiv_icon

22:45 Uhr, 28.02.2012

Ja das dachte ich auch zuerst, aber die Aufgabe lautet:

Der Graph der Funktion

f (x)

=sqrt(2x+8),die x-Achse und die Winkelhalbierende des 1. Quadranten begrenzen ein Flächenstück. Berechnen Sie den Inhalt A des Flächenstücks.

In der Klausur kann ich dann ja theoretisch schreiben, dass der Wert sinngemäß der Aufgabenstellung verworfen werden kann. ..oder?

KalleMarx aktiv_icon

22:49 Uhr, 28.02.2012

Moina zusammen!

Die Aufgabenstellung ist schon richtig: Die Funktionen schließen mit der x-Achse eine Fläche ein, nicht mit der y-Achse. Die y-Achse teilt die betrachtete Fläche hingegen in zwei Flächen. Das ist aber nicht Gegenstand der Aufgabe.

Gruß - Kalle.

Ma-ri-on aktiv_icon

22:51 Uhr, 28.02.2012

Sehr gut , dann habe ich das auch richtig "umgedacht" .

Dennoch stellt sich immer noch die Frage, wie ich das jetzt berechnen soll:(

KalleMarx aktiv_icon

22:55 Uhr, 28.02.2012

Genauso wie die andere Aufgabe auch:

A = A_{f} - A_{g} = \int_{- 4}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{4} f (x) - g (x) d x

Ma-ri-on aktiv_icon

22:55 Uhr, 28.02.2012

Noch mal zur 1. Aufgabe !

Habe jetzt

\int_{0}^{1} (g (x) - f (x)) d x

berechnet und

\frac{7}{3}

als Ergebnis. Habe es mit vom GTR prüfen lassen und

\frac{7}{3}

wären "richtig" . Laut Lösungsheft muss das Ergebnis jedoch 9 betragen ??

Was ist also falsch ??:( Ich hoffe das Lösungsheft :-P)

vulpi aktiv_icon

22:55 Uhr, 28.02.2012

Tschuldigung, mein Fehler !

Logisch hast du da auch ein unten eingegrenztes Stück von

- 4

bis 0
Da mußt du aber etwas aufpassen, das sind 2 unterschiedlich zu behandelnde
Abschnitte:

Abschnitt 1
Fläche nur unter der Parabel bis

x -

Achse von

- 4

bis 0

\int_{- 4}^{0} f (x) d x

Abschnitt 2
Differenzfläche wie oben von 0 bis 4

Und nochmal zu Wurzelgleichung:
Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung
Beispiel:

- 1 = 1 :

falsch

{(- 1)}^{2} = 1^{2}

richtig
Es können also Scheinlösungen auftreten.
Also einfach die Lösungen mit der urprünglichen Gleichung nochmal prüfen.

\sqrt{2 \cdot x + 8} = x

ist für

x = - 2

falsch

(\sqrt{}

heißt immer

+ \sqrt{)}

weil

\sqrt{4} = 2 \neq - 2

- 2

ist somit eine Scheinlösung
Wie gesagt, bei Wurzelgleichungen immer 'ne Probe !

lg

Ma-ri-on aktiv_icon

23:04 Uhr, 28.02.2012

zur 2.Aufgabe:
Achso ok. ich glaube ich weiß was du meinst. Flächeninhalt des

\int_{- 4}^{0} + \int_{0}^{4}

(Differenz)
ja ?
versuch ich mal "schnell"

weiß nicht, ob der eintrag zu Aufg. 1 zwischendurch gelesen wurde?

vulpi aktiv_icon

23:06 Uhr, 28.02.2012

Also die

\frac{7}{3}

stimmen.
Haben wir da irgendwas übersehen :-)
hoffe, nicht...

Ma-ri-on aktiv_icon

23:10 Uhr, 28.02.2012

ojee :-P)
vielleicht noch mal die Aufgabe "Wort für Wort" ?
Habe vielleicht etwas falsch wieder gegeben

: - O

" Der Graph der Funktionen

f (x) = 2 x^{2} + 4

und

g (x) = - 2 x + 8,

sowie die y-Achse umschließen im 1.Quadranten ein Flächenstück. Berechnen Sie den Inhalt A. "

vulpi aktiv_icon

23:19 Uhr, 28.02.2012

Hi,
im 2. Quadranten gibt es aber auch noch so ein Flächenstück.
Vllt. hat sich das Lösungsbuch da verhauen.
Schau mal, was die Gesamtfläche von den beiden Teilen ist

\int_{- 2}^{1} (g (x) - f (x)) d x

\int_{- 2}^{1} (- 2 x^{2} - 2 x + 4) d x = {[- \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 4 x]}_{- 2}^{1} =

(- \frac{2}{3} - 1 + 4) - (\frac{16}{3} - 4 - 8) = (- \frac{2}{3} + 3) - (\frac{16}{3} - 12) = 15 - \frac{18}{3} = 9

Ma-ri-on aktiv_icon

23:23 Uhr, 28.02.2012

Sieht ganz danach aus

: - O

Aber würde das nicht bedeuten, dass der 2. Schnittpunkt

(- 2)

keine Scheinlösung ist?! Wenn man die Probe berechnet kommt

2 = - 2

raus. Kann dann ja nicht stimmen

: (

Doofes Lösungsbuch

!!

:-P)

vulpi aktiv_icon

23:24 Uhr, 28.02.2012

Hallo, das war Aufgabe

1!

Da gibts wirklich 2 Schnittpunkte :-)

Ma-ri-on aktiv_icon

23:25 Uhr, 28.02.2012

ACH WAS

!!!!!!!

SCHNELL VERGESSEN

!!

WAR AUF DER FALSCHEN SEITE ! ;-)

Ma-ri-on aktiv_icon

23:27 Uhr, 28.02.2012

jaaa :-P) Tut mir Leid.
So . Dann kann man das ja jetzt guten Gewissens als Lösungsbuchfehler ansehen !
;-)
Danke, danke, danke

!!

:-))
Ich (glaube) ich habe das Prinzip jetzt verstanden . Mein Heft leuchtet jetzt ganz bunt , weil überall vermerke stehen, wie man solche Aufgaben bearbeitet ;-)

vulpi aktiv_icon

23:29 Uhr, 28.02.2012

Dann wünsch ich noch schöne Träume, und viel Glück bei der Klausur demnächst.
ciao

Ma-ri-on aktiv_icon

23:31 Uhr, 28.02.2012

Danke :-)

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