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Fläche unter Kurve halbieren, Koordinate erhalten

Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen, 13. Klassenstufe

Tags: Fläche, Geometrie, halbieren, Integral, Schwerpunkt

cidex aktiv_icon

20:09 Uhr, 10.12.2009

Hallo,

habe einen etwas seltsamen Fehler in einer Rechnung entdeckt, zwei unterschiedliche Rechenwege fuehren zu verschiedenen Ergebnissen.

Das Problem auf ein einfaches Beispiel reduziert:

Gegeben ist eine funktion (y=x*k, als lineare funktion tuts hierfuer schon (k positiv)) und zwei Grenzen (0,L). Gesucht ist die x-Koordinate (fuer x zwischen 0 und L) bei der die Flaeche unter der Funktion von (0 bis x) gleich ist der Flaeche von (x bis L).

Wenn man das Problem nun geometrisch (ohne Integral) loest kommt man auf x = 2/3 L fuer obige lineare Funktion.

Man koennte aber auch die zwei Integrale gleichsetzten:

$\int_{0}^{n \cdot L} x \cdot k d x = \int_{n \cdot L}^{L} x \cdot k d x$

und nach n aufloesen (L,k sind natuerlich gegeben).

Damit erhaelt man $n = \frac{1}{\sqrt{2}}$ und x = n*L !

Die beiden Teilungsverhältnisse machen einen signifikannten Unterschied:

$\frac{2}{3} \approx 0.66667 \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7071$

Wo ist hier mein (Denk)Fehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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20:29 Uhr, 10.12.2009

hallo,

das integral sieht gut aus. du musst bei deiner zeichnerischen loesung einen fehler gemacht haben ???

lg

cidex aktiv_icon

21:09 Uhr, 10.12.2009

Es ist keine Zeichnerische Lösung sondern eine Analytische basierend auf elementarer Geometrie. Wollt mir eigentlich ersparen das abzutippen...

Das Dreieck durch obige Funktion beschrieben ist Rechtwinkelig die Katheten nenne ich A und B, wobei A entlang der x-Achse ist. Ich teile nun das Dreieck an einem Punk q auf der x-Ache (Schnitt parallel zur y-Achse). Man erhält ein kleineres dreieck und ein Rechteck dem ein "winziges" dreieck fehlt (wenn man es mal so sehen will).

Hier die Gleichung der Flächen:

$B \cdot q - \frac{B}{A} \cdot (A - q) \cdot q \cdot \frac{1}{2} = (A - q) (\frac{B}{A} \cdot (A - q) \cdot \frac{1}{2})$

Rechteck - winziges Dreieck = kleineres Dreieck

Die Lösung der Gleichung gibt q = 1/3*A. Hier invers formuliert als in der ursprümglichen Frage. Also q ist hier eine länge die von A abgezogen wird, so wie ich die Gleichung aufgestellt habe, damit wäre x = A-q = 2/3 A, wie oben geschrieben.

cidex aktiv_icon

21:28 Uhr, 10.12.2009

Hier noch der dritte alternative Rechenweg (der durch den ich eigentlich auf die Sache gestoﬂen bin).

R¸ckgef¸hrt auf Schwerpunktsberechnung:

Die X-koordinate des Fl‰chenschwerpunktes mal der Gesammtfl‰che ist gleich den infinitesimalen Teilfl‰chen ( y(x) * dx ) mal ihren Einzelschwerpunkten (Schwerpunkt entspricht Position x).

$X \cdot A = \int y (x) \cdot x d x$

$y (x) = x \cdot k$

$A = \int y (x) d x$

$X = \frac{\int (x \cdot k) \cdot x d x}{\int x \cdot k d x} = \frac{2}{3} x$

Da das in meinen Augen nur Sinn macht wenn dieser wert für den Schwerpunkt die Fläche in zwei gleich große teilt (Ursprünglich mit Masse überlegt) habe ich rückeingesetzt:

$\int_{0}^{\frac{2}{3} L} x \cdot k d x = \int_{\frac{2}{3} L}^{L} x \cdot k d x$

was letztendlich zur Gleichung führt:

$2^{1.5} = 3$

Das falsch ist, aber nicht viel daneben.

CKims aktiv_icon

21:30 Uhr, 10.12.2009

muesste dein winziges dreieck nicht

(B - \frac{B}{A} (A - q)) q \frac{1}{2}

heissen??

cidex aktiv_icon

21:45 Uhr, 10.12.2009

Ja stimmt.

Damit wird:

$q = a (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})$

(zweite Loesung irrelevant)

und somit:

$n = a - q = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot a$

Also Teilt der Schwerpunkt nicht in zwei gleich große Flächen.

CKims aktiv_icon

21:58 Uhr, 10.12.2009

und die Schwerpunktsberechnung sieht auch gut aus.

jedoch sagt der Schwerpunkt nicht so direkt etwas ueber die Flaechenverteilung aus.

z . B :

links vom mittelpunkt koennte insgesamt weniger flaeche sein als rechts. Dafuer aber weiter entfernt

lg

cidex aktiv_icon

22:02 Uhr, 10.12.2009

Jup statische Momente sind links und rechts gleich grosz...

Amuesant das es sich durch den Fehler in der Gleichung genau auf den Wert ausging der mich bestaetigte, Freud haette seine helle Freude an mir.

qzmufu aktiv_icon

22:55 Uhr, 10.12.2009

Also ich komme auch geometrisch auf

n^{2} = \frac{1}{2} . .

.

Fläche

1 =

Fläche 2:

\frac{(n \cdot L) \cdot (k \cdot n \cdot L)}{2} = (L - n \cdot L) \cdot k \cdot n \cdot L + \frac{(L - n \cdot L) \cdot (k \cdot L - k \cdot n \cdot L)}{2}

n \cdot L^{2} = 2 n \cdot L^{2} - 2 n^{2} L^{2} + L^{2} - 2 n \cdot L^{2} + n^{2} L^{2}

0 = 2 n^{2} + 1

. .

qzmufu aktiv_icon

23:02 Uhr, 10.12.2009

btw. ist auch die Lösung mit dem Integral geometrisch. Vom großen Dreieck

\frac{k \cdot L^{2}}{2}

wird das Dreieck

\frac{k \cdot {(n \cdot L)}^{2}}{2}

abgezogen und mit dem kleinen Dreieck

\frac{k \cdot {(n \cdot L)}^{2}}{2}

verglichen.

qzmufu aktiv_icon

23:05 Uhr, 10.12.2009

ups. ist ja schon längst beantwortet

. .

. sorry

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