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Formales Beweisen von Injektivität

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Beweis, formal, Funktion, injektiv, Injektivität

Berndardo aktiv_icon

22:53 Uhr, 08.06.2015

Hallo zusammen,
hänge bei folgender Fragestellung fest:

Sind die Funktionen injektiv? Falls ja, beweisen sie ihre Aussage.

f : R \to R, f (x) =

x³ –

x

g : R \to R, g (x) = 2 x

R

sind die reellen Zahlen.

So weit so klar, bei

f

argumentiere ich nicht injektiv mit der formalen Begründung

f (- 1) = f (1)

Damit beweise ich, dass zwei Werte aus dem Definitionsbereich den gleichen Wert aus dem Bildbereich über die Funktion abbilden und somit die Definition von Injektivität hier nicht gilt.

Ich habe mir hierzu auch folgenden Thread durchgelesen:
http//www.onlinemathe.de/forum/Injektiv-beweisen

Daraufhin habe ich bei

g

auf injektiv argumentiert mit der formalen Begründung

g(xa) = g(xb)

(a

und

b

sind hier Indizes, wusste jetzt nicht, wie ich die runtergestellt darstelle)
daraus folgt:
2xa = 2xb
Beide Seiten durch 2 geteilt ergibt
xa = xb

Damit wäre theoretisch Injektivität bewiesen.

Was nun mein Verständnisproblem ist:

Nehme ich

z . B

. an Funktion

f

wäre nicht

f : R \to R, f (x) =

x³ –

x

sondern

f : R \to R, f (x) =

x³

+ x,

dann sehe ich ja schon am Graphen, dass letztere Version injektiv ist. Wollte ich dies beweisen würde ich wie bei

g

oben vorgehen:

f(xa) = f(xb)
daraus folgt:
xa³+x = xb³+x
Beide Seiten

- x

ergibt
xa³ = xb³
Das würde für mich schon implizieren, dass xa = xb ist und somit wieder Injektivität bewiesen wäre. Hierzu habe ich mir auch folgenden Thread durchgelesen, der dies für xa³ = xb³ so vorgibt:
http//www.onlinemathe.de/forum/Injektiv-Surjektiv-Bijektiv-42

ABER:

f (x) =

x³ –

x

kann ich ja genauso umformen und komme am Ende auf xa = xb. Damit würde ich ja aber eine definitiv nicht injektive Funktion als injektiv bezeichnen, also scheint mir dieser formale Weg hinfällig.

Versteht Ihr mein Dilemma? Oder noch besser: Könnt Ihr mir sagen, wo mein Denkfehler liegt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

23:10 Uhr, 08.06.2015

Hallo,

soll dein "xa" in
> f(xa) = f(xb)
etwa ein

x_{a}

sein?

Soll die Gleichung etwa

f (x_{a}) = f (x_{b})

lauten? (Sowieso stellst sich die Frage, warum du nicht gleich

a

statt

x_{a}

und

b

statt

x_{b}

verwendest, aber na gut.)

Dann müsste es für

f : x \mapsto x^{3} + x

wie folgt lauten:

x_{a}^{3} + x_{a} = x_{b}^{3} + x_{b}

Und egal, ob "+" oder "-", du kannst nicht einfach durch Subtraktion (bzw. im anderen Fall Addition) zu

x_{a}^{3} = x_{b}^{3}

umformen, da dein

x

eben einmal

x_{a}

und einmal

x_{b}

ist. (Den Fehler vermeidest du, indem du andere Buchstaben für die Variablen wählst, statt sie "nur" durch Indizes unterscheidbar zu machen.)

> Könnt Ihr mir sagen, wo mein Denkfehler liegt?

Siehe oben. :-)

Mfg Michael

PS:

x_{a}^{3} + x_{a} = x_{b}^{3} + x_{b} \overset{}{\Leftrightarrow} x_{a}^{3} - x_{b}^{3} = - (x_{a} - x_{b}) \overset{}{\Leftrightarrow} (x_{a} - x_{b}) (x_{a}^{2} + x_{a} x_{b} + x_{b}^{2}) = - (x_{a} - x_{b})

\overset{}{\Leftrightarrow} (x_{a} - x_{b}) (x_{a}^{2} + x_{a} x_{b} + x_{b}^{2} + 1) = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} x_{a} = x_{b} \lor x_{a}^{2} + x_{a} x_{b} + x_{b}^{2} + 1 = 0

\overset{}{\Leftrightarrow} x_{a} = x_{b} \lor x_{a} = - \frac{x_{b}}{2} + \sqrt{\frac{x_{b}^{2}}{4} - x_{b}^{2} - 1} \lor x_{a} = - \frac{x_{b}}{2} - \sqrt{\frac{x_{b}^{2}}{4} - x_{b}^{2} - 1}

.

Da der Radikand gleich

- 1 - \frac{3}{4} x_{b}^{2} < 0

ist, hat der zweite Teil keine (reelle) Lösung. Insofern muss also

x_{a} = x_{b}

gelten.

Berndardo aktiv_icon

23:34 Uhr, 08.06.2015

Junge, Junge... Selten dämlich, Asche über mein Haupt. So verstehe ich es auch. Zu meiner Verteidigung; es ist schon spät :-) Und danke für die detaillierte Lösung, über PQ-Formel kann ich das auch nachvollziehen.

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