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Formulierung ganzrationaler Funktionsgleichung

Schüler Gesamtschule,

Tags: Formulierung der Angabe, Ganzrationale Funktionen

JustinDe aktiv_icon

19:43 Uhr, 26.08.2014

Hallo Freunde,

ich komm' beim Lösen einer Aufgabe nicht weiter, mein Kopf explodiert gleich.

Die Aufgabenstellung lautet Folgendermaßen:
Bestimme zu den abgebildeten Graphen jeweils eine mögliche Funktionsgleichung. Überlege zunächst, welchen Grad die Funktion haben könnte.

Ich habe gerade nicht die Möglichkeit das einzuscannen, deshalb häng' ich eine Skizze an.

Einige Informationen sind:
Wendestelle

(2 | 1)

Extrema:
Hochpunkt

H (0 | 0)

Tiefpunkt

T (2 | - 4)

Ich bin jetzt einfach mal davon ausgegangen, dass es sich um eine Funktion dritten Grades handelt, deshalb:

f (x) = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

f' (x) = 3 \cdot a \cdot x^{2} + 2 \cdot b \cdot x + c

f'' (x) = 6 \cdot a \cdot x + 2 \cdot b

Soweit so gut. Jetzt benötige ich ja vier Bedingungen, da es vier Unbekannte gibt.

Bedingung I:

f' (2) = 12 \cdot a + 4 \cdot b + c = 0

Bedingung II:

f'' (2) = 12 \cdot a + 2 \cdot b = 0

Bedingung III:

f (2) = 8 \cdot a + 4 \cdot b + 2 \cdot c + d = - 4

Bedingung IV:

f' (0) = 0 \cdot a + 0 \cdot b + c = 0

Bedingung IV sagt mir jetzt, dass die Variable

c = 0

ist, oder? Das heißt, eine Variable ist bereits sicher:

c = 0

.

Jetzt habe ich die aus den Bedingungen formulierten Gleichungen mal untereinander gereiht, also:

f' (2) = 12 \cdot a + 4 \cdot b + c = 0

f'' (2) = 12 \cdot a + 2 \cdot b = 0

f (2) = 8 \cdot a + 4 \cdot b + 2 \cdot c + d = - 4

f' (0) = 0 \cdot a + 0 \cdot b + c = 0

Dann alles in eine Koeffizientenmatrix packen und per gaußschem Eliminationsverfahren ausrechnen, also:

(\begin{matrix} 12 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 12 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 4 & 2 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix})

Schritt eins: Zeile 2 minus Zeile 1

(\begin{matrix} 12 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 8 & 4 & 2 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix})

Schritt zwei: Zeile 3 minus ( Zeile

2 \cdot 2)

(\begin{matrix} 12 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 8 & 0 & 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix})

So, jetzt komm ich nicht weiter. Ich muss ja von der Ecke unten Links, drei Zahlen horizontal, drei Zahlen vertikal und zwei Zahlen diagonal eliminieren, also gleich null setzen. Aber das bekomm' ich nicht hin, wo ist mein Denkfehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pleindespoir aktiv_icon

19:52 Uhr, 26.08.2014

Wendestelle (2|1)
Hochpunkt H(0|0)
Tiefpunkt T(2|−4)

f (2) = 1

f (0) = 0

f (- 4) = 2

f ʹ (0) = 0

f ʹ (2) = 0

f ʺ (0) < 0

f ʺ (2) > 0

Das macht schon mal 5 Gleichungen und damit könnte man eine quartische Funktion bestimmen.

JustinDe aktiv_icon

20:09 Uhr, 26.08.2014

Kannst du mir 'nen Ansatz geben? Ich komm auf nichts mehr, mein Kopf ist soo leer.

: - (

pleindespoir aktiv_icon

20:14 Uhr, 26.08.2014

f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e

f ʹ (x) = 4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d

f ʺ (x) = 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c

und nun die fünf Gleichungen von oben hier einsetzen.

Eigentlich wie immer ...

[edit]
die zweite Ableitung brauchst du zunächst gar nicht

JustinDe aktiv_icon

20:39 Uhr, 26.08.2014

Cool, danke. Ich bin jetzt so weit:

f (2) = 16 \cdot a + 8 \cdot b + 4 \cdot c + 2 \cdot d + e = 1

f (0) = 0 \cdot a + 0 \cdot b + 0 \cdot c + 0 \cdot d + e = 0

f (1) = a + b + c + d + e = - 2

f' (0) = 0 \cdot a + 0 \cdot b + 0 \cdot c + d = 0

f' (2) = 32 \cdot a + 12 \cdot b + 4 \cdot c + d = 0

Also

e = 0; d = 0

(\begin{matrix} 16 & 8 & 4 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 32 & 12 & 4 & 1 & 0 & 0 \end{matrix})

Kann ich dort jetzt das gaußsche Eliminationsverfahren anwenden?

edit:
mir ist jetzt erst aufgefallen, dass der Wendepunkt

(1 | - 2)

ist haha.

Mathe45

20:40 Uhr, 26.08.2014

W (2 | 1)

T (2 | - 4)

?????

edit: ok, schon erkannt !

pleindespoir aktiv_icon

20:55 Uhr, 26.08.2014

Dann können wir ja grad von vorn anfangen - und die zweite Ableitung ist für die Wendestelle wichtig. Das macht dann noch eine Gleichung mehr und noch ein Potenzchen extra.

Bin ich aber auch drübergeflogen ohne was zu merken !

Mathe45

20:57 Uhr, 26.08.2014

Wegen der besonderen Angaben kann man sich die Sache hier leichter machen.

f (x) = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

Da aber

H (0 | 0)

ein Punkt des Graphen ist

\Rightarrow d = 0

Wie du oben schon richtig erkannt hast, ist auch

c = 0

Wir haben also nur mehr

f (x) = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2}

f^{'} (x) = 3 \cdot a \cdot x^{2} + 2 \cdot b \cdot x

Es werden zwei Gleichungen benötigt.

f^{'} (2) = 0 \Rightarrow 12 \cdot a + 4 \cdot b = 0

f (1) = - 2 \Rightarrow a + b = - 2

12 \cdot a + 4 \cdot b = 0

a + b = - 2

\Rightarrow a = 1

und

b = - 3

pleindespoir aktiv_icon

21:03 Uhr, 26.08.2014

gelöscht wegen Fehler

JustinDe aktiv_icon

21:22 Uhr, 26.08.2014

Ich danke euch beiden. :-)
Jetzt kann ich in Ruhe schlafen. :-)

Danke und liebe Grüßte,
Justin

pleindespoir aktiv_icon

21:33 Uhr, 26.08.2014

Zitat:

Einige Informationen sind:
Wendestelle (2|1)

Extrema:
Hochpunkt H(0|0)
Tiefpunkt T(2|−4)

-------

die Wende

s t e l l e

hat eine y- Koordinate, die witzigerweise eine andere ist, als die an der gleichen Stelle auftretende Tiefpunkt !

Also ist schon in den Angaben ein Wurm drin !

pleindespoir aktiv_icon

21:45 Uhr, 26.08.2014

Also mal alle Werte zusammen bitte kontrollieren ob's stimmt:

Wendestelle (1|-2)
Hochpunkt H(0|0)
Tiefpunkt T(2|-4)

---------------

JustinDe aktiv_icon

21:46 Uhr, 26.08.2014

Ja klar ist richtig. :-)
Hab mich ja schon korrigiert in einem vorherigen Beitrag. Hab das falsch abgelesen aus der Grafik.

Danke nochmal ! :-)

Mathe45

08:48 Uhr, 27.08.2014

Um eine Anregung von pleinespoir aufzugreifen: Natürlich gäbe es auch Funktionen höheren Grades, welche die geforderten Anfangsbedingungen erfüllen.
Den Angaben lassen sich 6 Gleichungen entlocken

\Rightarrow

Funktion 5. Grades.
Der Rechenaufwand ist zwar größer, aber machbar.
Das Gleichungssystem liefert einen frei wählbaren Koeffizienten a und in Abhängigkeit davon die anderen Koeffizienten. Alle diese Funktionen erfüllen die Anfangsbedingungen, zusätzlich gibt es natürlich noch weitere Extrempunkte respektive Wendepunkte, was aber nicht unbedingt im Widerspruch zur Aufgabenstellung steht.
Die Grafik zeigt

z . B

. eine Funktion 5. Grades mit dem gewählten Koeffizienten

a = - 0,1

In solchen Fällen wäre es natürlich vorteilhaft, die ORIGINALAUFGABE zu sehen.

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