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Funktionen, Monotonie beweisen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Beweis, Monotonie

nae-nae aktiv_icon

22:43 Uhr, 27.08.2010

Hallo,

es ist das erste mal dass ich einen Monotoniebeweis durchführen soll, und ich komme leider überhaupt nicht zurecht.

Bei der ersten, linearen Funktion, geht es noch: (Erst soll das Monotonieverhalten bestimmt werden und dann im zweiten Schritt soll das Monotonieverhalten bewiesen werden).

y = 0,5 x + 6,5

Der Graph der linearen Funktion ist streng monoton wachsend.

f : x - \to 0,5 x + 6,5; x

E(lement der) R(eelen Zahlen).

x 1 < x 2 \Rightarrow f (x 1) < f (x 2)

0,5 \cdot x 1 < 0,5 x \cdot x 2

0,5 \cdot x 1 + 6,5 < 0,5 \cdot 1 + 6,5

f (x 1) < f (x 2)

Für alle

x 1, x 2

€

R

gilt

x 1 < x 2 \Rightarrow f (x 1) < f (x 2)

Die Funktion ist daher nach Definition streng monoton wachsend.

Kann man das so schreiben?

(Richtig verstanden habe ich das nicht, muss man die Schreibweise einfach auswendig lernen? Warum reicht es nicht zu schreiben

x 1 < x 2 \Rightarrow f (x 1) < f (x 2)

?
Müssen im Beweis Zahlen für

x 1

etc. eingefügt werden, oder recht es, so allgemein zu formulieren?)

Aber dann das größere Problem, der Monotoniebeweis bei einer quadratischen Funktion.

f (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1

Beschreiben kann ich sie:
"Die quadratische Funktion hat zwei Lösungen, weshalb ihr Graph nicht auf dem ganzen Definitionsbereich streng monoton ist. Die Parabel besteht aus zwei Ästen die durch den Schnittpunkt

(- \frac{1}{- 3})

welches ihr Minimum ist, getrennt sind. Auf der rechten Seite ist sie streng monoton wachsend und auf der linken Seite streng monoton fallend."
(Kann man das so beschreiben?)

Hmm, dann aber der Beweis,
ich habe ein Beispiel einer ähnlichen quatratischen Funktion, aber sie einfach abzuschreiben und nur die Zahlen auszutauschen wäre zwar eine Möglichkeit, aber helfen tut es mir leider auch nicht.

Vermutlich ist das ganze aber zu kompliziert und umfangreich um es hier zu auszuführen und zu erklären, oder?

Gibt es vielleicht irgendwo eine Seite wo der Montontoniebeweis, insbesondere bei quadratischen Gleichungen gut erklärt ist?

Ich freue mich über jede Hilfe,

lieben Dank,

Nae

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

mat160687 aktiv_icon

22:47 Uhr, 27.08.2010

reicht dir kein Nachweis durch die erste Ableitung oder so?

nae-nae aktiv_icon

22:55 Uhr, 27.08.2010

Ein Nachweis durch die erste Ableitung sagt mir leider gar nichts...
(Ich habe grade damit begonnen mein Abitur nachzuholen, und der Stoff müßte eigentlich noch Wiederholung der

10

. (aber höchstens

11 .)

Klasse sein).

mat160687 aktiv_icon

23:01 Uhr, 27.08.2010

habt ihr schon Ableitungen gelernt?

BjBot aktiv_icon

23:02 Uhr, 27.08.2010

Warum fragst du das nochmal, es ist doch offensichtlich, dass sie die obige Definition benutzen soll.

nae-nae aktiv_icon

01:42 Uhr, 28.08.2010

Ableitungen hatten wir leider noch nicht, und ich fürchte der Beweis soll nach meinem obigen Beispiel geführt werden, nur ist das bei der quadratischen Gleichung für mich noch undurchschaubarer als bei der linearen...

BjBot aktiv_icon

03:02 Uhr, 28.08.2010

So wirklich kann man dein Anliegen nicht durchschauen, denn es wirkt alles irgendwie von dir selbst frei formuliert was deiner Meinung nach wohl bei der Aufgabe gemacht werden soll aber die konkrete Aufgabenstellung im Originallaut kann ich hier nirgendwo finden.

"Erst soll das Monotonieverhalten bestimmt werden und dann im zweiten Schritt soll das Monotonieverhalten bewiesen werden"

Schon das klingt irgendwie seltsam, wie soll man denn etwas bestimmen ohne schon von irgendeinem Korrektheits-Beweis auszugehen ? Das ist alles sehr schwammig formuliert.
Was man halt tun kann, ist, dass man ein paar Zahlen für

x

einsetzt und dann eine Vermutung über das Monotonieverhalten des Graphen der Funktion formuliert. Diese Vermutung gilt es dann zu beweisen.

Bei einer linearen Funktion ist das im Prinzip sehr intuitiv, denn wenn man sich den Graphen dazu anschaut erkennt man ja direkt, dass eine steigende Gerade vorliegt.
Um das formal zu zeigen, muss man allgemein für ALLE

x_{1} < x_{2}

zeigen, dass daraus auch

f (x_{1}) < f (x_{2})

folgt. Und genau das hast du oben ja (bis auf einen Schreibfehler) wunderbar getan, denn sowohl die Multiplikation der Ungleichung

x_{1} < x_{2}

mit

0,5

als auch die Addition auf beiden Seiten mit

6,5

sind äquivalente Umformungen und ändern nichts an der Ungleichung.

Bei deiner quadratischen Funktion f(x)=2x²+4x-1 würde ich den Term erstmal durch quadratische Ergänzung auf Scheitelpunktform bringen. Daran kann man dann wiederum Vermutungen für das Monotonieverhalten aufstellen, und zwar hier für den Fall

x < - 1

und

x > - 1

. Beide Fälle kann man dann separat wie oben nach demselben Muster allgemein beweisen.

"ich habe ein Beispiel einer ähnlichen quatratischen Funktion, aber sie einfach abzuschreiben und nur die Zahlen auszutauschen wäre zwar eine Möglichkeit, aber helfen tut es mir leider auch nicht"

Aber das ist doch gerade perfekt wenn man schon ein Beispiel hat, dann kann man doch wunderbar sehen wie man vorgehen soll. Es kommt ja nicht darauf an die Zahlen auszutauschen aber die einzelnen Schritte kann man sich doch dann prima klar machen.

nae-nae aktiv_icon

18:46 Uhr, 28.08.2010

Also ganz genau sind die Fragen so formuliert:

a)

Welches Monotonieverhalten zeigen die Funktionen

f (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1

und

g (x) = 0,5 x + 6,5

b)

Beweise die Aussagen aus Teilaufgabe

a) .

- - -

Also für

g (x) = 0,5 x + 6,5

wäre das:

a)

Der Graph der linearen Funktion ist streng monoton wachsend.

b) f : x \to 0,5 x + 6,5

x 1 < x 2 \Rightarrow f (x 1) < f (x 2)

0,5 \cdot x 1 < 0,5 \cdot x 2

0,5 \cdot x 1 + 6,5 < 0,5 \cdot x 2 + 6,5

f (x 1) < f (x 2)

Für alle

x 1, x 2

(Elemente der Reelen Zahlen) gilt

x 1 < x 2 \Rightarrow f (x 1) < f (x 2) .

Ist das wirklich die komplette Beantwortung zu

f (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1

?

(Damit ich den Teil der Frage mal abhaken kann ;-)

) .

BjBot aktiv_icon

18:58 Uhr, 28.08.2010

Verwechsle nur nicht die Buchstaben, du bist bei der Funktion

g (x),

also musst auch auch immer mit

g

arbeiten.

Ich würde noch etwas anders strukturieren:

zu zeigen ist, dass für alle

x 1, x 2

aus

R

folgendes gilt:

x 1 < x 2 \to g (x 1) < g (x 2)

x 1 < x 2 | \cdot 0,5

0,5 \cdot x 1 < 0,5 \cdot x 2

usw.

Man will ja ausgehend von der Ungleichung

x 1 < x 2

durch bestimmte Umformungen auf

g (x 1) < g (x 2)

schließen

nae-nae aktiv_icon

20:09 Uhr, 28.08.2010

Danke, stimmt mir ist gar nicht aufgefallen dass ich nicht bei der selben Funktion bzw. beim selben Buchstaben geblieben bin.

Eine Frage hätte ich noch,

reicht es denn einfach immer nur so allgemein von

x 1

und

x 2

zu sprechen (und dazu zu schreiben dass dies Elemente der Reelen Zahlen sein sollen)

,

in der "Beweisführung", oder muss man dafür tatsächlich beispielhaft Zahlen für die die Funktion definiert ist, einsetzen?

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20:21 Uhr, 28.08.2010

Gerade das ist ja der Clue an dem Beweis, nämlich, dass man es allgemein zeigt.
Ein Beispiel mit irgendwelchen eingesetzten Zahlen wäre kein Beweis.
Dann sieht man zwar, dass es für diese beiden Zahlen klappt aber das heisst ja noch lange nicht, dass es auch wirklich für ALLE möglichen Wahlen von

x 1

und

x 2

funktioniert.

nae-nae aktiv_icon

21:09 Uhr, 28.08.2010

Ich habe jetzt mal versucht das mit der quadratischen Funktion nach dem Vorbild der linearen zu lösen, kannst du dir das mal angucken ob irgendwas davon überhaupt stimmt?

f : x \to 2 \cdot x^{2} + 4 x - 1

f (x) = 2 \cdot {(x - (- 1))}^{2} + (- 3)

a = 2, u = - 1

und

v = - 3

Scheitelpunkt ist also

(- \frac{1}{- 3})

Die eine Hälfte der Parabel ist streng monoton steigend, also müsste für rechts vom Scheitelpunkt

(- \frac{1}{- 3})

für

x 1, x 2

Elemente der reelen Zahlen gelten

x 1 < x 2 \Rightarrow f (x 1) < f (x 2)

x 1 < x 2 (/ - 1)

x 1 - 1 < x 2 - 1 (/ - 3)

x 1 - 1 - 3 < x 2 - 1 - 3 (/ \cdot 2)

2 \cdot x 1 - 1 - 3 < 2 \cdot x 2 - 1 - 3

f (x 1) < f (x 2)

Und das ganze dann mit umgedrehten Ungleichungszeichen für die linke/ streng monoton fallende Seite.

Ich befürchte schon dass es so wahrscheinlich nicht richtig ist...

BjBot aktiv_icon

21:48 Uhr, 28.08.2010

Deine Scheitelpunktform stimmt schonmal.
Jedoch kannst du es noch etwas umschreiben

\to f (x) = 2 {(x + 1)}^{2} - 3

Damit ergibt sich, dass die Parabel für

x < - 1

fällt und für

x > - 1

steigt.
Zu zeigen sind jetzt also 2 Sachverhalte:

1)

für

x < - 1

gilt für alle

x 1, x 2

aus

R

mit

x 1 < x 2 \to f (x 1) > f (x 2)

2)

für

x > - 1

gilt für alle

x 1, x 2

aus

R

mit

x 1 < x 2 \to f (x 1) < f (x 2)

Fangen wir also mal mit

2)

an, also mit dem Fall rechts von der Scheitelstelle:

x 1 < x 2

x 1 + 1 < x 2 + 1 \to

es wurde auf beiden Seiten 1 addiert

{(x 1 + 1)}^{2} < {(x 2 + 1)}^{2} \to

wegen

x > - 1

werden zwei positive Zahlen quadriert, wodurch das Ungleichungszeichen erhalten bleibt

2 {(x 1 + 1)}^{2} < 2 {(x 2 + 1)}^{2} \to

es wurde mit 2 multipliziert

2 {(x 1 + 1)}^{2} - 3 < 2 {(x 2 + 1)}^{2} - 3 \to

es wurde auf beiden Seiten 3 subtrahiert

Da was hier steht ist nichts anderes als

f (x 1) < f (x 2),

was zu zeigen war.

nae-nae aktiv_icon

22:11 Uhr, 28.08.2010

Danke für deine ausführliche Erklärung, ich glaube ich habe das so weit erst mal verstanden, werde es mir morgen aber noch mal ausführlicher angucken.

Wäre das Vorgehen für Fall

1) x < - 1

eigentlich identisch, nur dass am Ende

f (x 1) > f (x 2)

stehen würde?

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22:18 Uhr, 28.08.2010

Ja es geht bis auf einen Schritt ziemlich analog von Statten.
Entscheidend ist zu begründen warum sich das Ungleichungszeichen an einer Stelle umdreht.

nae-nae aktiv_icon

22:41 Uhr, 28.08.2010

Entschuldige ;-) Aber ich habe es mir jetzt noch mal angeguckt,

diesen Schritt (Im Fall

2)

verstehe ich nicht:

{(x 1 + 1)}^{2} < {(x 2 + 1)}^{2}

→ wegen

x > - 1

werden zwei positive Zahlen quadriert, wodurch das Ungleichungszeichen erhalten bleibt.

Weil

x

größer ist als

- 1

werden zwei positive Zahlen quadriert?

und wie wäre das im Fall

1)

bei

x < - 1

?

Ohje, ich glaube ich muss mich wirklich noch mal ganz genau mit dem Thema beschäftigen...

;-)

nae-nae aktiv_icon

23:57 Uhr, 28.08.2010

Ich habe es jetzt mal mit Zahlen ausprobiert,

also in Fall

2) x > - 1

habe ich die Zahlen

x 1 = 0,5

und

x 2 = 2

gewählt.
Das wäre dann:

{(0,5 + 1)}^{2} < {(2 + 1)}^{2}

2,25 < 9

im Fall

1) x < - 1

habe ich die Zahlen

x 1 = - 3

und

x 2 = - 1,5 (

Das wäre dann:

x 1 < x 2

x 1 + 1 < x 2 + 1

- 3 + 1 < - 1,5 + 1

- 2 < - 0,5

{(- 2)}^{2} > {(- 0,5)}^{2} \to

hier dreht sich das Ungleichzeichen

4 > 0,25

dann weiter wie im Fall

2)

nur mit umgekehrtem Ungleichzeichen:

2 \cdot {(x 1 + 1)}^{2} > 2 \cdot {(x 2 + 1)}^{2}

2 \cdot {(x 1 + 1)}^{2} - 3 > 2 \cdot {(x 2 + 1)}^{2} - 3

f (x 1) > f (x 2)

Ohje, ich hoffe ich habe es jetzt endlich verstanden ;-)

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12:25 Uhr, 29.08.2010

Richtig, an der Stelle wo man quadriert kann es Auswirkungen auf das Ungleichungszeichen haben.
Nur wie gesagt ist ein Beweis durch ein Zahlenbeispiel kein Beweis.
Man kann das natürlich mal mit Zahlen ausprobieren aber der Beweis muss am Ende in allgemeiner Form da stehen, denn entscheidend ist die Formulierung "für ALLE

x 1, x 2

aus R"
Für den Fall

1),

also für

x < - 1

sind die beiden Zahlen

x 1 + 1

und

x 2 + 1

in jedem Fall schonmal negativ und zudem gilt nach Voraussetzung

x 1 + 1 < x 2 + 1

Quadriere ich nun die linke und rechte Seite dann quadriere ich im Endeffekt zwei allgemeine negative Zahlen, von denen eine kleiner als die andere ist.
Durch das Quadrieren entstehen ja positive Zahlen und das Ungleichungszeichen muss sich hier also umdrehen denn vom Betrag her ist

x 1 + 1

dann im Endeffekt GRÖßer als

x 2 + 1

nae-nae aktiv_icon

13:28 Uhr, 04.09.2010

Hallo, wollte die Frage als beantwortet markieren,

vielen lieben Dank für deine Hilfe!

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