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Ganzrationale Funktionen - Funktionsscharen

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: Funktionsschar, Ganzrationale Funktionen, k-Funktion

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DAZEN

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11:42 Uhr, 20.11.2011

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Ich habe eine Funktion

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4

gegeben.
Nun ist dazu folgende Aufgabe gestellt:
Für

k \in ℝ

sei

f_{k} (x) = x^{3} + (k - 4) x^{2} + (4 - 4 k) x + 4 k

. Zeige, dass die Funktion

f

zur Funktionsschar

f_{k}

gehört und dass bis auf einen alle Funktionsgraphen an der Stelle 2 die 1. Achse berühren.
Kann mir jemand helfen, ich weiß nicht wie man dass nachweisen könnte...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Antwort

Shipwater

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11:51 Uhr, 20.11.2011

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Nun ja du musst einfach

k

so bestimmen, dass

x^{3} + (k - 4) x^{2} + (4 - 4 k) x + 4 k = x^{3} - 3 x^{2} + 4

Das sieht man eigentlich sofort. Kommst du drauf? Notfalls kannst du dir überlegen wann links das lineare Glied also

(4 - 4 k) x

wegfällt. (rechts ist nämlich auch keines).

DAZEN

DAZEN aktiv_icon

12:00 Uhr, 20.11.2011

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Also ich habe für

k = 1,

dann ist ja auf beiden Seiten das Gleiche. Das habe ich verstanden. Wie beweise ich jetzt, dass die Nullstelle bei allen (außer einem) 2 ist?

Antwort

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

12:05 Uhr, 20.11.2011

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Mache mal die Polynomdivision :

(x^{3} - 3 x^{2} + 4) : (x - 2)

Das Ergebnis 0 setzen, dann dürfte nur noch bei

x = - 1

eine Nullstelle erscheinen.

mfG

Atlantik

geändert!

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Atlantik

Atlantik aktiv_icon

12:13 Uhr, 20.11.2011

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Klar, auch bei

x = 2

sowieso.

mfG

Atlantik

DAZEN

DAZEN aktiv_icon

12:14 Uhr, 20.11.2011

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aber woher weiß ich denn, dass alle Funktionen der Funktionsschar

f_{k}

bei 2 eine Nullstelle besitzen? Nicht nur die Funktion

f

.

Antwort

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

12:23 Uhr, 20.11.2011

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Weil du den Wert für

k

so bestimmt hast, dass

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4

ist.

Ich habe eine Zeichnung mit Schieberegler eingestellt.

mfG

Atlantik

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

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DAZEN

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12:30 Uhr, 20.11.2011

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Also ich habe für

k = 1,

also ist

f_{1} = f

der Beweis dafür, dass die Funktion

f

auf der Funktionsschar

f_{k}

liegt. Für

k = 1

hat die Funktion

f_{1}

die Nullstelle

x_{1} = 2

und

x_{2} = - 1

. Und das ist der Beweis, dass alle Funktionen der Funktionsschar

f_{k}

bei 2 eine Nullstelle haben?! Verstehe ich nicht, die Nullstelle 2 ist doch dann nur für

k = 1

und nicht generell für

k

.

Antwort

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

12:42 Uhr, 20.11.2011

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Du kannst in der Zeichnung nicht mit dem Schieberegler, sondern links oben beim blauen Punkt den Wert für

k

verändern.( Mit Doppelklick bei

k = 1)

mfG

Atlantik

Klammer ist ergänzt.

Antwort

Shipwater

Shipwater aktiv_icon

13:13 Uhr, 20.11.2011

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Was soll denn das mit Polynomdivision..? Du musst einfach nur zeigen, dass

f_{k} (2) = 0

und

f_{k}^{'} (2) = 0

gilt.

Frage beantwortet

DAZEN

DAZEN aktiv_icon

13:28 Uhr, 20.11.2011

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Danke=)

Antwort

Shipwater

Shipwater aktiv_icon

13:36 Uhr, 20.11.2011

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Keine Ursache.

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