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Ganzrationale Funktionenschar

Schüler

Tags: Ganzrationale Funktionen

yellowman

22:35 Uhr, 30.11.2019

Hallo, ich habe die Funktionenschar

f_{a} (x) = - a x^{3} + 4 a x

dabei ist

a < 0

a) Gebe begründet das Symmetrieverhalten der Graphen der Schar an.
b) Berechne die Extrempunkte. Nutze dazu die Symmetrieeigenschaften des Graphen aus.
c) Weise nach, dass alle Graphen der Schar denselben Wendepunkt haben.
d) Berechne die Gleichung der Wendetangente. Bestimme anschließend den Wert von

a

so, dass die Wendetangente die Steigung

8

hat.
e) Bestimme

a

so, dass die Tangente an den Graphen von

f_{a}

an der Stelle

- 2

parallel zu der Geraden

y = 6 x + 2

verläuft.

a) Da die Exponenten der ganzrationalen Funktion nur ungerade Exponenten besitzt ist f punktsymmetrisch zum Ursprung. Es gilt:

f_{a} (- x) = - f_{a} (x)

b) Hier habe ich die Ableitungen gebildet und die Extremstellen berechnet.

f ʹ_{a} (x) = - 3 a x^{2} + 4 a

f ʺ_{a} (x) = - 6 a x

Dann erhalte ich

H P (- \frac{4}{3} ∣ - \frac{80}{27} a)

und

T P (\frac{4}{3} ∣ \frac{80}{27} a)

Hier sieht man das diese symmetrisch sind. Ich weiß allerdings nicht wie ich das anhand der Symmetrie begründen kann. Kann mir da jemand helfen?

c) Dritte Ableitung noch berechnet:

f ‴_{a} (x) = - 6 a

Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmt: Da erhalte ich

x = 0

Eingesetzt in die dritte Ableitung:

f_{a} ‴ (0) = - 6 a > 0

damit handelt es sich bei

x = 0

um eine rechts-links Wendestelle.
Noch überprüfen das auch kein Sattelpunkt vorliegt setze ich x=0 noch in die erste Ableitung ein.

f ʹ_{a} (0) = 4 a \neq 0

Damit haben wir bei

W S (0 ∣ 0)

einen Wendepunkt vorliegen der unabhängig des Parameters

a

ist. Damit teilen sich alle Graphen der Schar denselben Wendepunkt.

d) Ich habe die Steigung

m

bestimmt indem ich die Wendestelle

x = 0

in die erste Ableitung eingesetzt habe. Da erhalte ich

m = 4 a

. Dann erhalte ich die Wendetangente y=4ax
Damit die Wendetangente die Steigung

8

besitzt muss

a = 2

sein.

e) Hier habe ich

x = - 2

in die erste Ableitung eingesetzt um m zu bestimmen. Da erhalte ich:

m = - 8 a

Jetzt habe ich noch

x = - 2

f_{a} (x)

eingesetzt um den zugehörigen y-Wert zu bestimmen. Da erhalte ich:

P (- 2 ∣ 0)

Jetzt habe ich die Tangentengleichung aufgestellt. Da erhalte ich

y = - 8 a x + b

Nun muss man wissen das zwei Geraden parallel sind, wenn sie die selbe Steigung besitzen. Somit gilt:

- 8 a = 6

und somit

a = - \frac{3}{4}

Passen meine Überlegungen soweit? Vielen Dank :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

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Respon

22:44 Uhr, 30.11.2019

Überprüfe nochmals

H P

bzw.

T P

yellowman

22:53 Uhr, 30.11.2019

Hallo, ja da habe ich vergessen die Wurzel zu ziehen. Da erhalte ich dann

H P (- \frac{2}{\sqrt{3}} ∣ - \frac{32}{3 \sqrt{3}} a)

und

T P (\frac{2}{\sqrt{3}} ∣ \frac{32}{3 \sqrt{3}} a)

Ich hoffe da habe ich mich nicht verrechnet.

Viele Grüße

Respon

22:56 Uhr, 30.11.2019

y-Werte überprüfen

yellowman

10:56 Uhr, 01.12.2019

Ich habe nochmal nachgerechnet und da erhalte ich:

H P (- \frac{2}{\sqrt{3}} ∣ - \frac{16}{3 \sqrt{3}})

und

T P (\frac{2}{\sqrt{3}} ∣ \frac{16}{3 \sqrt{3}})

Ich hoffe jetzt habe ich die Werte richtig berechnet. Wie sieht es mit dem Rest aus?

VIele Grüße

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11:51 Uhr, 01.12.2019

c) f'' (x) = 0

x = . .

d) t (x) = (x - x_{w})' f' (x_{w}) + f (x_{w})

x_{w} =

Wendestelle

e) f' (- 2) = 6

(gleiche Steigung wie die Gerade)

yellowman

15:28 Uhr, 01.12.2019

Hallo supporter, was ist denn an der Wendestelle

x_{W} = 0

nicht korrekt? Wenn ich

- 6 a x = 0

davon die Nullstelle berechne so lautet diese doch

x = 0

...

Viele Grüße

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15:51 Uhr, 01.12.2019

Das hat doch niemand gesagt.
Du solltest sie nur selber ermitteln. :-)

yellowman

15:55 Uhr, 01.12.2019

Achso ok. Kannst du bitte mal in meinen ersten Post schauen, dort habe ich das nämlich alles gerechnet. Meine Frage ist jetzt ob meine Ergebnisse so stimmen.

Viele Grüße

ledum aktiv_icon

19:31 Uhr, 01.12.2019

Hallo
bis auf die Werte von

R

HP und TP die du später richtig hast ist im ersten post alles ok
wegen der Symmetrie braucht man eigentlich

c)

nicht rechnen, da HP und TP punktsymmetrisch sind, muss der Wendepunkt in 0 liegen, er kann auch nicht waagerecht sein, da die Ableitung 2 ten Grades ist, also maximal 2 Nullstellen hat.
oben war vorausgesetzt

a < 0,

damit gibt es keine Wendetangente mit positiver Steigung,
rechnerisch ist aber

a = 2

richtig
Gruß ledum

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