Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Ganzzahlige Lösungen einer Gleichung

Ganzzahlige Lösungen einer Gleichung

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, ganzzahlige Lösungen, Gleichungen, Quadratische Funktion

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
garfield19

garfield19 aktiv_icon

13:55 Uhr, 07.06.2012

Antworten

Hallöchen!

Ich muss folgende Aufgabe lösen:

"Wieviele ganzzahlige Lösungen hat die Gleichung x 2 − y 2 = n ?"

Mir fehlt irgendwie der Ansatz... Wenn ich den Fall n=0 betrachte, hab ich ja da schon unendlich viele Lösungen, oder?

Hoffe mir kann jemand helfen.

Danke!

Lg


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
kalli

kalli

23:46 Uhr, 07.06.2012

Antworten
Hallo,
bei der 0 gibt es in der Tat unendlich viele Lösungen.
Bei der 1 gibt es aber nur sehr wenige.
(1;0) und (-1;0) sind die einzigen Lösungen.

Zwischen 2 Quadratzahlen liegt immer eine ungerade Zahl.
0
1=0+1
4=1+3
9=4+5
16=9+7
25=16+9

Also gibt es für n=2 keine Lösung. Wohl aber für n=3

(2;1),(-2;1),(2;-1) und (-2;-1)

Für 4 gibt es eine Lösung, denn 1+3=4
(2;0)(-2;0)

usw.

Das ist zwar noch keine endgültige Lösung, aber auf diese Weise kannst Du vielleicht eine Formel erarbeiten, mit deren Hilfe Du die Lösungen bestimmen kannst.
Antwort
Bummerang

Bummerang

08:56 Uhr, 08.06.2012

Antworten
Hallo,

ich hoffe die Aufgabe richtig zu verstehen, gegeben ist natürliches n und gesucht sind die ganzzahligen Lösungen x und y. Dazu wendet man zunächst die Binomischen formeln an:

x2-y2=n

(x-y)⋅(x+y)=n

Damit sieht man schon, daß dann sowohl x-y als auch x+y ein (ganzzahliger) Teiler von n sein muß. Da sieht man leicht, dass für ungerade n immer folgendes Paar (x,y) eine Lösung ist:

x=n+12     und     y=n-12

Dann ist

x+y=n+12+n-12=n+1+n-12=2⋅n2=n

und

x-y=n+12-n-12=n+1-n+12=22=1

Ist n eine Quadratzahl, so ist auch immer x=n und y=0 eine Lösung.

Ansonsten eine allgemeingültige Lösung anzugeben ist sicher aufwändig. Sollte man für ein bestimmtes n alle Lösungen angeben müssen, wäre es am einfachsten über die Primfaktorzerlegung von n alle Teiler von n zu ermitteln. Dann kann man über die Auswahl eines beliebigen Teilers t den dazugehörigen Quotienten q=nt ermitteln (q ist dabei natürlich ein weiterer Teiler von n). Anschließend stellt man ein lineares Gleichungssystem auf:

x-y=min(t,q)

x+y=max(t,q)

Dann erhält man ganzzahlige Lösungen (wenn sowohl x-y als auch x+y gerade oder wenn beide ungerade sind) oder auch nicht (wenn eines von beiden gerade und das andere ungerade ist). Beide Teiler t und q können danach in der Menge aller Teiler als erledigt abgehakt werden. Dann geht das Verfahren weiter mit einem neuen Teiler, so lange bis alle Teiler erledigt sind.

Beispiel:

n=60

Teiler sind:

1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60

1. Runde: x-y=1;x+y=60⇒ man sieht sofort, dass es keine ganzzahlige Lösung gibt

2. Runde: x-y=2;x+y=30⇒ man sieht sofort x=16,y=14

3. Runde: x-y=3;x+y=20⇒ man sieht sofort, dass es keine ganzzahlige Lösung gibt

4. Runde: x-y=4;x+y=15⇒ man sieht sofort, dass es keine ganzzahlige Lösung gibt

5. Runde: x-y=5;x+y=12⇒ man sieht sofort, dass es keine ganzzahlige Lösung gibt

6. Runde: x-y=6;x+y=10⇒ man sieht sofort x=8,y=2
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.