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Grenzwert Mitternachtsformel

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Grenzwert, Mitternachtsformel, rekursive folge

JuliaM92 aktiv_icon

14:50 Uhr, 15.11.2009

Bei manchen rekursiv dargestellten Folgen, von denen man den Grenzwert ausrechnen muss, muss man die Mitternachtsformel anwenden, so wie in diesem Beispiel:

a1= -1/2 an= (1-an-1)+4

Also: g= (1-g)/(2+g) Also: g²+3g-1=0 Also: Mitternachtsformel ---> g1= ca. 0,3028 g2= ca. -3,3028

1]Man hat also zwei Ergebnisse... g1 und g2.. Doch woher weiß man ob g1 der richtige Grenzwert ist, oder g2??????

2]Und kann bei irgendeinem Ergebnis auch mal gar kein Grenzwert rauskommen? Also z.B. dass g1 und g2 "stimmt", es also gar keinen Grenzwert gibt, weil es nicht 2 auf einmal geben kan???

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Grenzwerte im Unendlichen
Lösen mit der Lösungsformel (Mitternachtsformel)

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m-at-he

18:25 Uhr, 15.11.2009

Hallo,

Du solltest Dir angewöhnen, mit Indizes zu arbeiten, Deine Terme sind nicht lesbar sondern nur zu erraten! Was ich lesen kann ist:

a_{1} = - \frac{1}{2}

a_{n} = (1 - a_{n - 1}) + 4

Letzteres ist aber:

a_{n} = (1 - a_{n - 1}) + 4 = 5 - a_{n - 1}

Schauen wir uns die ersten Folgeglieder an:

a_{2} = 5 - (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} = \frac{11}{2}

a_{3} = 5 - \frac{11}{2} = - \frac{1}{2}

a_{4} = 5 - (- \frac{1}{2}) = \frac{11}{2}

Da sehe ich keinen Grenzwert, sondern zwei Häufungspunkte und die haben mit Deinem Ansatz für

g

nicht das entfernteste zu tun. Wie hängen denn Dein Ansatz für

g

und Deine Folge zusammen, ich kann das ehrlich nicht erkennen!

JuliaM92 aktiv_icon

18:34 Uhr, 15.11.2009

Sorry ich bin neu hier und weiß noch nicht so richtig wie das mit den "Indizes" geht...

Alsoo da lim(n gegen unendlich) von $a_{n}$ gleichzeitig lim(n gegen unendlich) von an+1 ; an+2 ; an-2; usw.... ist:

Kann man wenn g= lim( $a_{n}$ ) also g = 1 - $a_{n - 1}$ und da an=g und an-1 ist auch g kann man an-1 durch g ersetzen, dann heißt es: g= 1-g und dann rechnet man weiter mit der Mitternachtsformel und bekommt g1 und g2 raus!!!

Jetzt weiß ich nur nicht, woher man weiß ob man g1 nimmt oder g2??

hagman aktiv_icon

18:42 Uhr, 15.11.2009

Das kann man so auch nicht wissen.
Allgemein hast du recht, wenn

a_{n} = f (a_{n - 1})

gilt mit einer stetigen FUnktion

f,

dann muss für einen eventuellen Grenzwert

g

der Folge

g = f (g)

gelten.
Wenn es mehrere "Kandidaten" gibt (oder selbst, wenn es nur einen gibt), ist jedoch nich klar, welcher der richtige ist bzw. ob die Folge nicht trotzdem divergiert. Dies hängt möglciherweise auch vom ersten Folgenglied ab. Alles, was man auf diesem einfachen Wege weiß, ist: *Wenn* die Folge konvergiert, *dann* gegen einen dieser Burschen.

Beispiel:

a_{n} = a_{n - 1}^{2}

hat als mögliche Grenzwerte

g = 0

und

g = 1

. Das muss dann im Einzelnen in Abhängigkeit von

a_{1}

untersucht werden.
Hier gilt: Wenn

a_{1} = \pm 1,

dann

a_{n} \to 1

(sogar sehr rasch); wenn

- 1 < a_{1} < 1,

dann

a_{n} \to 0;

wenn

| a_{1} | > 1,

dann divergiert die Folge.

m-at-he

18:46 Uhr, 15.11.2009

Hallo,

und Sorry, aber da stimmt ja fast nichts:

lim_{n \to + \infty} (a_{n}) = lim_{n \to + \infty} (a_{n + 1}) = lim_{n \to + \infty} (a_{n + 2}) = g

Wenn der Grenzwert existiert, dann stimme ich dieser Gleichung zu. Aber der Rest?

Wie kommst Du auf:

g = 1 - a_{n - 1}

???

Es gilt doch analog zu oben auch:

lim_{n \to + \infty} (a_{n - 1}) = g

D . h

. für hinreichend große

n

ist der Abstand von

a_{n - 1}

von

g

kleiner als ein beliebig gewähltes

ε

größer Null. Was schreibst Du? Der Abstand ist

1!

Das kann ja gar nicht stimmen! Und daraus folgerst Du weiter irgendwann zu

g = 1 - g!

Stelle doch das mal nach

g

um! Das würde ja heißen, daß der Grenzwert immer

\frac{1}{2}

wäre und das für alle Folgen! Und auf die

(g + 2)

im Nenner aus Deinem vorangegangenen Post bist Du erst gar nicht eingegangen, wo der herkommt bleibt demnach vollkommen im Dunkeln, den brauchst Du aber, um auf Deine quadratische Gleichung zu kommen.

Ebenfalls bist Du nicht darauf eingegangen, ob ich Deine rekursiv definierte Folge korrekt erraten habe. Für die korrekte Folge könnte man dann vielleicht mal den Grenzwert ermitteln, aber nicht auf Deinem Weg! Für die von mir erratene existiert kein Grenzwert!

JuliaM92 aktiv_icon

18:53 Uhr, 15.11.2009

Genau, man muss dazuschreiben dass die Voraussetzung besteht, dass es überhaupt einen Grenzwert gibt.

Achso ups nciht g=1 - $a_{n - 1}$ , sondern g=1 - $a_{n - 1}$ + 4 , das war ja die Anfangsfolgenbeschriebung. Dann mit der Mitternachtsformel: g1= ca. 0,3028 und g2= ca. -3,3028

Bis hierhin stimmt es hundert prozent!!!

Aber an dieser Stelle weiß ich nun nicht woher man weiß dass man sich für g1 oder g2 entscheiden soll... ist g1 richtig oder g2??

m-at-he

19:11 Uhr, 15.11.2009

Hallo,

ich sehe immer noch nicht, wie man von

g = 1 - g + 4

auf eine quadratische Gleichung kommt, aber einiges sehe ich ganz bestimmt!

1. Der Grenzwert der angegebenen Folge exisitiert nicht! (Ich habe oben noch mal korrigiert!)
2. Den Ansatz über Fixpunkte kann man nur dann machen, wenn man vorher bewiesen hat, daß es einen Grenzwert gibt! Den gibt es hier aber nicht, also kann man auch keinen Fixpunktansatz machen! So viel zu "Bis hierhin stimmt es hundert prozent!!!"
3. Als Lösung würde sich durch Umstellen nach

g

ergeben:

g = \frac{5}{2},

keine quadratische Gleichung und somit kein

g_{1}

und

g_{2}!

m-at-he

19:28 Uhr, 15.11.2009

Forumsfehler!

JuliaM92 aktiv_icon

21:23 Uhr, 15.11.2009

Doch, in der Schule haben wir es so gemacht, ich selber beim Selbstständigen durchrechnen des Buchs auch, und im Lösungsbuch steht es auch so.. Vielleicht hast du ja bei der Rechnung zwischendurch was falsch verstanden? Auf jeden Fall kommen g1 und g2 raus und man nimmt dann g1, jedoch wieso weiß ich nicht...

m-at-he

21:29 Uhr, 15.11.2009

Hallo,

es bleibt dabei: Nicht bei der Folge

a_{n} = (1 - a_{n - 1}) + 4,

niemals!!!

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