Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Grenzwert, unbeschränkte Folge mal Nullfolge

Grenzwert, unbeschränkte Folge mal Nullfolge

Schüler Ausbildungsstätte,

Tags: Grenzwert, Nullfolge, unbeschränkt, Wurzel

SoNyu

17:55 Uhr, 09.11.2013

Hi,

ich soll zeigen, dass

lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (^{n} \sqrt{n} - 1) = 0

Aus der Vorlesung weiß ich, dass der Grenzwert für n gegen unendlich von

n^{1 / n} = 1

(Wie kann man hier die n-te Wurzel darstellen?)

Das der Faktor

(n^{1 / n} - 1)

eine Nullfolge ist, ist mir also klar.
Da jedoch

\sqrt{n}

unbeschränkt wächst, kann ich hier den Grenzwert ja nicht einfach auseinanderziehen. Das geht ja nur wenn die beiden Folgen einen Grenzwert haben, dass dann gilt

lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = lim_{n \to \infty} a_{n} \cdot lim_{n \to \infty} b_{n}

Wie gehe ich hier nun am besten vor? Kann man hier das Epsilonkriterium anwenden?

Dazu eine Verständnisfrage zum Epsilonkriterium.

Mit diesem lässt sich nur sagen, dass eine Folge gegen einen Grenzwert konvergiert, aber nicht, wie der Grenzwert lautet. Den muss ich vorher schon wissen um es anwenden zu können, stimmts?

Vielleicht kann man es über eine Abschätzung zeigen.

Ich weiß, dass

n^{1 / n} > 1 + a

ist mit

a > 0

. Dieses könnte ich beliebig klein wählen.

Kann ich dies als eine Abschätzung verwenden, möglicherweise mittles binomischen Lehrsatz?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Shipwater aktiv_icon

17:57 Uhr, 09.11.2013

Am einfachsten ist es

\sqrt[n]{n}

mittels AGM-Ungleichung abzuschätzen. Aber mit dem binomischen Lehrsatz sollte man auch geeignete Abschätzungen finden können.
Zur Darstellung: www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf

SoNyu

18:02 Uhr, 09.11.2013

\sqrt[(]{n}) (n)

Hmm der Code scheint nicht zu funktionieren. Wie gibst du es ein?

Die Ungleichung vom arithmetischen-geometrischen Mittel hatten wir noch nicht.

Shipwater aktiv_icon

18:07 Uhr, 09.11.2013

Du musst schon darauf achten, dass du im richtigen Modus bist. Für LaTeX schaust du hier:
http//www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_latex_zeichen.pdf
Dann schau doch mal was du mit dem binomischen Lehrsatz an Abschätzungen hinbekommst. Orientieren kannst du dich vermutlich an eurem Beweis für

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

SoNyu

18:24 Uhr, 09.11.2013

Sorry, aber ich finde den Code nicht... nur \surd und damit funktioniert es irgendwie nicht.

Nun gut.

Wir hatten in dem Beweis

n^{1 / n}

abgeschätzt und dann das Sandwich-Theorem angewandt.

1 \leq n^{(1 / n)} \leq (1 + \sqrt{\frac{2}{n + 1}})

Wäre es hier auch möglich, dass ich eine Teilfolge betrachte und von dieser zeige, dass sie monoton fällt und nach unten beschränkt ist, weshalb sie konvergieren muss und dann den Grenzwert direkt berechne?

Vielleicht könnte ich ja nun so abschätzen:

lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (n^{1 / n} - 1) \leq lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (1 + \sqrt{\frac{2}{n + 1}} - 1) \leq \sqrt{2}

Wenn ich es noch etwas zusammenfasse.
Am besten ist es dann denke ich mal wenn ich auch das Sandwich Theorem anwende und die Folge "einschnüre". Dann muss ich jetzt nur zwei Folgen finden, die den Grenzwert Null haben und "kleiner" bzw. "größer" als meine ursprüngliche Folge sind.

Shipwater aktiv_icon

18:44 Uhr, 09.11.2013

Die Abschätzung, die ihr beim Beweis von

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

benutzt habt ist offensichtlich nicht stark genug. Also schau dir an wie ihr die Abschätzung damals hergeleitet habt und überlege dir wie du das Vorgehen modifizieren kannst, um eine stärkere Abschätzung zu erhalten.

SoNyu

19:00 Uhr, 09.11.2013

Ist das eigentlich normal, dass man sich in den ersten Wochen des Studiums richtig dumm vorkommt? Ich sitze zum Teil Stunden vor den Aufgaben und bringe dennoch nichts aufs Papier...

Die Abschätzung wurde uns für den Beweis einfach angeschrieben. Wie man darauf kommt wurde nicht erläutert.

Aber vielleicht kann ich es ja mal so versuchen:

lim_{n \to \infty} n^{1 / n} - 1 \leq lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (n^{1 / n} - 1) \leq \sqrt{n} (\frac{10}{n})

Dann könnte ich auf die erste Folge den Grenzwert Null mit den Grenzwertsätzen berechnen, ebenso für die letzte Folge, womit auch die mittlere gegen Null konvergieren müsste. Aber ich denke meine letzte Abschätzung ist zu schlecht...

Shipwater aktiv_icon

19:13 Uhr, 09.11.2013

Die eine Richtung ist sowieso klar, da ja

0 \leq \sqrt{n} \cdot (\sqrt[n]{n} - 1)

für alle

n \in ℕ

. Der Knackpunkt der Aufgabe ist

\sqrt{n} \cdot (\sqrt[n]{n} - 1)

nach oben durch eine Nullfolge abzuschätzen. Schau mal hier auf Seite

28

findest du einen Beweis für

\sqrt[n]{n} \to 1 :

http//mitschriebwiki.nomeata.de/Ana1.pdf
Jetzt überlege dir wie du den Beweis modifizieren kannst, um eine stärkere Abschätzung zu finden.
Durch

\frac{10}{n}

kannst du

\sqrt[n]{n} - 1

nicht nach oben abschätzen, denn es ist zum Beispiel

\sqrt[30000]{30000} - 1 > \frac{10}{30000}

"Ist das eigentlich normal, dass man sich in den ersten Wochen des Studiums richtig dumm vorkommt?" Ja

SoNyu

19:44 Uhr, 09.11.2013

Könnte ich nicht einfach eine Potenz der Folge wählen:

lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (n^{1 / n} - 1) \leq lim_{n \to \infty} n^{3 / 2} (n^{1 / n} - 1)^{3}

Der dritte Summand im binomischen Lehrsatz?

Shipwater aktiv_icon

20:02 Uhr, 09.11.2013

Was soll deine erste Abschätzung bringen? Und probier das mit dem dritten Summanden doch einfach mal aus, ich habe es selbst noch nicht gerechnet.

SoNyu

20:07 Uhr, 09.11.2013

Na ja, das sollte doch größer sein und ist eine Nullfolge, also genau das was ich haben möchte, oder nicht?

Shipwater aktiv_icon

20:09 Uhr, 09.11.2013

Für

0 < x < 1

gilt doch

x > x^{3}

SoNyu

20:16 Uhr, 09.11.2013

Ja, schon, aber die multiplikation gleicht das aus hätte ich gedacht.

Ist der Gedanke mit dem dritten Summanden denn richtig?

\ n c h o o s e 3 a^{3} = \frac{n!}{3! (n - 3)!} a^{3} = \frac{n (n - 1) (n - 2)}{6} a^{3}

n \geq \frac{n (n - 1) (n - 2)}{6} a^{3}

Jetzt teile ich durch n

1 \geq \frac{(n - 1) (n - 2)}{6} a^{3}

Bilde den Kehrwert

1 \leq \frac{6}{(n - 1) (n - 2) a^{3}}

a^{3} \leq \frac{6}{(n - 1) (n - 2)}

Und würde nun die dritte Wurzel ziehen.

Ich versteh glaube ich gar nicht wonach ich bei dieser Abschätzung "suchen" muss.
Bzw. woran ich erkennen kann was es Wert ist gesucht zu werden. Wenn du verstehst was ich meine.

P.S. muss jetzt erstmal weg.

Vielen Dank für die Hilfe, bis hier hin.

Shipwater aktiv_icon

20:24 Uhr, 09.11.2013

Das sollte zielführend sein, wenn du diese Abschätzung nun benutzt, um

\sqrt{n} \cdot (\sqrt[n]{n} - 1)

abzuschätzen.
Falls dich auch noch der Weg mittels AGM-Ungleichung interessiert:
http//www.onlinemathe.de/forum/Grenzwert-einer-Wurzelfolge-10

SoNyu

16:02 Uhr, 10.11.2013

Muss ich das noch weiter umformen bevor ich die Folge damit nach oben abschätzen kann? Bzw. wüsste ich auch gar nicht wie genau ich nun dieses verwenden kann um die Abschätzung durchzuführen. :(

Shipwater aktiv_icon

16:07 Uhr, 10.11.2013

Die dritte Wurzel noch ziehen.

SoNyu

16:13 Uhr, 10.11.2013

Kann ich dann folgendermaßen abschätzen:

lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (n^{1 / n} - 1) \leq \sqrt{n} \cdot {(\frac{6}{(n - 1) (n - 2)})}^{1 / 3}

Wobei ich jetzt noch zeigen müsste, dass letzters eine Nullfolge ist. Dazu dann den Faktor

\sqrt{n}

entfernen.

Shipwater aktiv_icon

16:36 Uhr, 10.11.2013

Lass doch das

lim_{n \to \infty}

weg. Und

\frac{6^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{2}}}{{((n - 1) (n - 2))}^{\frac{1}{3}}} = \frac{6^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{2} - \frac{2}{3}}}{\frac{{(n - 1)}^{\frac{1}{3}}}{n^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(n - 2)}^{\frac{1}{3}}}{n^{\frac{1}{3}}}} = \frac{6^{\frac{1}{3}} n^{- \frac{1}{6}}}{{(1 - \frac{1}{n})}^{\frac{1}{3}} \cdot {(1 - \frac{2}{n})}^{\frac{1}{3}}} \to \frac{6^{\frac{1}{3}} \cdot 0}{1 \cdot 1} = 0 (n \to \infty)

SoNyu

16:56 Uhr, 10.11.2013

Super, vielen Dank. Eigentlich war das ja gar nicht so schwer, wenn man nur auf die Abschätzung gekommen wäre...

Wäre es eigentlich egal gewesen welchen Summanden des binomischen Lehrsatzes ich zur Abschätzung verwende, oder hätte man hier auch mit der Bernoullie Ungleichung abschätzen können?

Shipwater aktiv_icon

17:10 Uhr, 10.11.2013

Der Summand für

k = 1

entspricht gerade Bernoullischer Ungleichung und ist nicht stark genug. Der für

k = 2

war auch noch nicht stark genug, also ist erst ab

k = 3

möglich.

SoNyu

17:25 Uhr, 10.11.2013

Danke, dass macht Sinn.

Vielen Dank für die Hilfe.

Shipwater aktiv_icon

18:29 Uhr, 10.11.2013

das* ;-) Keine Ursache und viel Erfolg weiterhin.

SoNyu

18:33 Uhr, 10.11.2013

:-P)

Worauf sollte man eigentlich am meisten Wert legen wenn man eine Vorlesung nacharbeitet? Das man mit den Sätzen und Definitionen vertraut ist, oder sollte man auch wirklich jeden Beweis nachvollziehen können, denn letzteres gelingt mir selten. Jedenfalls könnte ich sie nicht selber führen...

Shipwater aktiv_icon

18:52 Uhr, 10.11.2013

Ich finde alles wichtig. Für die Klausuren sind die Beweise der Sätze jetzt nicht soo wichtig, aber dennoch kann man dadurch den ein oder anderen Trick kennenlernen. Und es hilft natürlich auch dem allgemeinen Verständnis, wenn man weiß warum welcher Satz denn jetzt überhaupt gilt. Dass man selbst nicht auf die Beweise kommt ist klar und wird auch nicht erwartet.

1125180

1124721

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?