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Grenzwerte von Funktionen

Schüler

Tags: Asymptote, Definitionsbereich, Definitionslücke, Grenzwert

DonCamillo aktiv_icon

17:54 Uhr, 20.10.2016

Hallo :-)

Gibt ein paar Aufgaben, bei denen ich einige Probleme hab. Wäre toll, wenn mal jemand drüber gucken könnte und mir helfen würde.

Gegeben sind die Funktionen

f : x \to \frac{3}{x - 2}

g : x \to \frac{1}{x^{2} - 9}

h : x \to 2 + \frac{1}{x}

a)

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der Funktion.

b)

Wie verhält sich die Funktion für

x \to \infty

und

x \to - \infty

?
Geben Sie die beiden Grenzwerte für

x \to \infty

und für

x \to - \infty

und die Gleichung der Asymptote

g

an, der sich die Funktion annähert.

c)

Wie verhält sich die Funktion an ihrer Definitionslücke / an ihren Definitionslücken? Geben Sie (falls vorhanden) die Gleichungen der senkrechten Asymptoten an den Polstellen an.

d)

Skizzieren Sie den Funktionsverlauf im Koordinatensystem.

Meine Lösung:

a)

D_{f =} ℝ \ {2}

D_{g =} ℝ \ {3, - 3}

D_{h} = ℝ \ {0}

b)

lim_{x \to \infty} \frac{3}{x - 2} = 0

lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x - 2} = 0

Gleichung der waagerechten Asymptote:

y = 0

lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2} - 9} = 0

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2} - 9} = 0

Gleichung der waagerechten Asymptote:

y = 0

lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x} = 2

lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x} = 2

Gleichung der waagerechten Asymptote:

y = 0

c)

Der Nenner von

f (x)

wird Null, wenn

x - 2 = 0

und somit

x = 2

wird. Also hat

f

bei

x = 4

eine Definitionslücke bzw. eine Polstelle ohne VZW.
Gleichung der senkrechten Asymptote:

x = 2

Der Nenner von

g (x)

wird Null, wenn

x^{2} - 9 = 0

und somit

x = 3

oder

x = - 3

wird. Also hat

g

bei

x = 3

und

x = - 3

Definitionslücken bzw. Polstellen mit VZW.
Gleichung der senkrechten Asymptote:

x = 3

und

x = - 3

Der Nenner von

h (x)

wird Null, wenn

x = 0

wird. Alsohat

h

bei

x = 0

eine Definitionslücke bzw. eine Polstelle ohne VZW.
Gleichung der senkrechten Asymptote:

x = 0

d)

versuche ich die Fotos hochzuladen :-D)

Schonmal vielen Dank für die Hilfe.

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Asymptote (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Definitionsbereich
Definitionsbereich der Wurzel angeben
Definitionsbereich einer Wurzelfunktion
Einführung Funktionen
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DonCamillo aktiv_icon

18:00 Uhr, 20.10.2016

irgendwie scheint das mit den Fotos nicht richtig zu funktionieren..

supporter aktiv_icon

18:12 Uhr, 20.10.2016

h (x)

hat

y = 2

als Asymptote.

DonCamillo aktiv_icon

18:38 Uhr, 20.10.2016

ja stimmt, danke, da hab ich mich wohl vertippt.
Ist der Rest komplett richtig?
Leider funktioniert das mit den Fotos hochladen nicht richtig. Ich glaub nämlich, dass ich die Graphen falsch gezeichnet hab.

anonymous

22:35 Uhr, 20.10.2016

"c) ...eine Polstelle ohne VZW."
Ich vermute, dass "VZW" wohl 'Vorzeichenwechsel' bedeuten will.
Deine Fotoskizze soll wohl die

f (x)

darstellen, und deutet einen Vorzeichenwechsel an.
Willst du nochmals nachdenken?

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