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Hat die Fläche einen endlichen Inhalt?

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: endliche Fläche, Integral

SlaQQ aktiv_icon

17:56 Uhr, 09.10.2011

Hallo Mathe-Forum User,

habe da mal eine Frage an euch.
Wenn ich eine Funktion habe zb.

f (x) =

1/x³

und die fkt schließt mit der x-Achse über dem Intervall (1;unendlich) eine nach rechts unbegrenzte fläche ein.
Jetzt muss ich schauen ob die Fläche einen endlichen Inhalt hat?
und die nach oben unbegrenzte fläche

wie geht das?

mach ich da jetzt ein integral von 1 bis x?
ich versteh die aufg. nicht wirklich!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

weisbrot aktiv_icon

18:00 Uhr, 09.10.2011

hallo!

fläche=

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x = lim_{R \to \infty} \int_{1}^{R} \frac{1}{x^{3}} d x = . .

.

ich bin mir sicher das kannst du!

lg

weisbrot aktiv_icon

18:03 Uhr, 09.10.2011

ups! hab jetzt erst gesehen was dein eigentliches anliegen ist. aber es ist doch klar: wenn dieser grenzwert (aus meinem vorherigen post) existiert, so sagt man dass das integral konvergiert und der flächeninhalt ist endlich (eben der wert dieses integrals).
lg

SlaQQ aktiv_icon

18:13 Uhr, 09.10.2011

d.h. in diesem fall wäre es,

f(x) = 1/x³
F(x) = -(1/2)x^-2

obere grenze z untere grenze 1[(-1/2)x^-2]

--> -1/2z^-2+0,5

für z-->unendlich gilt A(z)= 0,5

stimmt das so?
wenn ja, wieso weiß ich dann ob das dann einen endlichen inhalt hat?

weisbrot aktiv_icon

18:20 Uhr, 09.10.2011

jap!
das weist du, da

0,5

endlich ist, oder nicht?;-)

SlaQQ aktiv_icon

18:24 Uhr, 09.10.2011

ja das ist klar...damit hab ich das dann bestätigt?
wie untersuch ich dann die nach oben unbegrenzte fläche?

weisbrot aktiv_icon

18:28 Uhr, 09.10.2011

meinst du

\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{3}} d x = lim_{ε \to 0} \int_{ε}^{1} \frac{1}{x^{3}} d x

?

das machst du analog

SlaQQ aktiv_icon

18:30 Uhr, 09.10.2011

wieso ist bei einer unbegrenzten fläche nach oben die untere grenze gleich x??

weisbrot aktiv_icon

18:34 Uhr, 09.10.2011

wo ist die untere grenze gleich x?

die funktion ist bei

x = 0

nicht definiert und geht für

x \to 0

gegen

\infty,

also muss man wieder eine grenzwertbetrachtung machen.

SlaQQ aktiv_icon

18:49 Uhr, 09.10.2011

kannst du mir das mal an einem beispiel vorrechnen?

von f(x)= 1/x^3

Untersuche die nach oben unbegrenzte fläche!

weisbrot aktiv_icon

19:00 Uhr, 09.10.2011

siehe mein vorletzter post, das machst du wie beim ersten beispiel.

DmitriJakov aktiv_icon

19:10 Uhr, 09.10.2011

Ich glaube ihr redet aneinander vorbei:

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} = {[- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}]}_{1}^{\infty} = lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} - (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1^{2}}) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

SlaQQ aktiv_icon

19:16 Uhr, 09.10.2011

damit hab ich dann doch bewiesen, dass es sich um einen endlichen inhalt handelt!
oder ist damit dann auch die nach oben unbegrenzte fläche untersucht??!

DmitriJakov aktiv_icon

19:24 Uhr, 09.10.2011

Die Fläche hat keine obere Grenze, ist aber trotzdem in ihrer Größe endlich. Das ist der Knackpunkt, den Du hier begreifen musst.

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